Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31003 / 17093
↖ ↑ ↗
← N 64.911898°
W  9.695435°		 ← 259.01 m → N 64.911898°
W  9.689941°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
N 64.909569°
W  9.695435°		 ← 259.03 m →
67 081 m²		 N 64.909569°
W  9.689941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473075866699219 y=0.260826110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473075866699219 × 216)
    floor (0.473075866699219 × 65536)
    floor (31003.5)     		tx = 31003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260826110839844 × 216)
    floor (0.260826110839844 × 65536)
    floor (17093.5)     		ty = 17093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31003 / 17093 ti = "16/31003/17093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31003/17093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31003 ÷ 216
    31003 ÷ 65536     		x = 0.473068237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17093 ÷ 216
    17093 ÷ 65536     		y = 0.260818481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473068237304688 × 2 - 1) × π
    -0.053863525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16921726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260818481445312 × 2 - 1) × π
    0.478363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50282180308876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16921726} λ = -0.16921726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50282180308876))-π/2
    2×atan(4.49435337408195)-π/2
    2×1.35186133923365-π/2
    2.70372267846729-1.57079632675     		φ = 1.13292635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16921726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.695435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13292635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.911898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31003 KachelY 17093 -0.16921726 1.13292635 -9.695435 64.911898
    Oben rechts KachelX + 1 31004 KachelY 17093 -0.16912138 1.13292635 -9.689941 64.911898
    Unten links KachelX 31003 KachelY + 1 17094 -0.16921726 1.13288570 -9.695435 64.909569
    Unten rechts KachelX + 1 31004 KachelY + 1 17094 -0.16912138 1.13288570 -9.689941 64.909569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13292635-1.13288570) × R
    4.06499999998644e-05 × 6371000     		dl = 258.981149999136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13292635-1.13288570) × R
    4.06499999998644e-05 × 6371000     		dr = 258.981149999136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16921726--0.16912138) × cos(1.13292635) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.424011358242658 × 6371000     		do = 259.007965719393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16921726--0.16912138) × cos(1.13288570) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.424048172844133 × 6371000     		du = 259.03045397319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13292635)-sin(1.13288570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424011358242658-0.424048172844133)×R²
    abs(-0.16912138--0.16921726)×3.68146014750326e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.68146014750326e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.68146014750326e-05×40589641000000     		ar = 67081.0928471821m²