Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31001 / 6483
↖ ↑ ↗
← N 72.961534°
E160.587158°		 ← 357.94 m → N 72.961534°
E160.598144°		 →
↑
357.99 m
↓
↑
357.99 m
↓
N 72.958315°
E160.587158°		 ← 358 m →
128 149 m²		 N 72.958315°
E160.598144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946090698242188 y=0.197860717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946090698242188 × 215)
    floor (0.946090698242188 × 32768)
    floor (31001.5)     		tx = 31001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197860717773438 × 215)
    floor (0.197860717773438 × 32768)
    floor (6483.5)     		ty = 6483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31001 / 6483 ti = "15/31001/6483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31001/6483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31001 ÷ 215
    31001 ÷ 32768     		x = 0.946075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6483 ÷ 215
    6483 ÷ 32768     		y = 0.197845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946075439453125 × 2 - 1) × π
    0.89215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80277465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197845458984375 × 2 - 1) × π
    0.60430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8984929725527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80277465} λ = 2.80277465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8984929725527))-π/2
    2×atan(6.67582620430604)-π/2
    2×1.42210766333566-π/2
    2.84421532667132-1.57079632675     		φ = 1.27341900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80277465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.587158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27341900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.961534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31001 KachelY 6483 2.80277465 1.27341900 160.587158 72.961534
    Oben rechts KachelX + 1 31002 KachelY 6483 2.80296639 1.27341900 160.598144 72.961534
    Unten links KachelX 31001 KachelY + 1 6484 2.80277465 1.27336281 160.587158 72.958315
    Unten rechts KachelX + 1 31002 KachelY + 1 6484 2.80296639 1.27336281 160.598144 72.958315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27341900-1.27336281) × R
    5.61900000000115e-05 × 6371000     		dl = 357.986490000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27341900-1.27336281) × R
    5.61900000000115e-05 × 6371000     		dr = 357.986490000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80277465-2.80296639) × cos(1.27341900) × R
    0.000191739999999996 × 0.293013657767113 × 6371000     		do = 357.938317214228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80277465-2.80296639) × cos(1.27336281) × R
    0.000191739999999996 × 0.293067381027397 × 6371000     		du = 358.00394423492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27341900)-sin(1.27336281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293013657767113-0.293067381027397)×R²
    abs(2.80296639-2.80277465)×5.37232602836335e-05×R²
    0.000191739999999996×5.37232602836335e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.37232602836335e-05×40589641000000     		ar = 128148.828643256m²