Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31000 / 19666
↖ ↑ ↗
← N 58.211238°
W  9.711914°		 ← 321.79 m → N 58.211238°
W  9.706421°		 →
↑
321.74 m
↓
↑
321.74 m
↓
N 58.208344°
W  9.711914°		 ← 321.82 m →
103 535 m²		 N 58.208344°
W  9.706421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473030090332031 y=0.300086975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473030090332031 × 216)
    floor (0.473030090332031 × 65536)
    floor (31000.5)     		tx = 31000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300086975097656 × 216)
    floor (0.300086975097656 × 65536)
    floor (19666.5)     		ty = 19666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31000 / 19666 ti = "16/31000/19666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31000/19666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31000 ÷ 216
    31000 ÷ 65536     		x = 0.4730224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19666 ÷ 216
    19666 ÷ 65536     		y = 0.300079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16950488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300079345703125 × 2 - 1) × π
    0.39984130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25613851764395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16950488} λ = -0.16950488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25613851764395))-π/2
    2×atan(3.51183438455633)-π/2
    2×1.29338704527548-π/2
    2.58677409055097-1.57079632675     		φ = 1.01597776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16950488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01597776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.211238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31000 KachelY 19666 -0.16950488 1.01597776 -9.711914 58.211238
    Oben rechts KachelX + 1 31001 KachelY 19666 -0.16940900 1.01597776 -9.706421 58.211238
    Unten links KachelX 31000 KachelY + 1 19667 -0.16950488 1.01592726 -9.711914 58.208344
    Unten rechts KachelX + 1 31001 KachelY + 1 19667 -0.16940900 1.01592726 -9.706421 58.208344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01597776-1.01592726) × R
    5.04999999999534e-05 × 6371000     		dl = 321.735499999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01597776-1.01592726) × R
    5.04999999999534e-05 × 6371000     		dr = 321.735499999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16950488--0.16940900) × cos(1.01597776) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526789091370289 × 6371000     		do = 321.789896111371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16950488--0.16940900) × cos(1.01592726) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526832015498129 × 6371000     		du = 321.81611637839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01597776)-sin(1.01592726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526789091370289-0.526832015498129)×R²
    abs(-0.16940900--0.16950488)×4.29241278400161e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29241278400161e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29241278400161e-05×40589641000000     		ar = 103535.451137625m²