Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30998 / 6517
↖ ↑ ↗
← N 72.851742°
E160.554199°		 ← 360.19 m → N 72.851742°
E160.565185°		 →
↑
360.22 m
↓
↑
360.22 m
↓
N 72.848502°
E160.554199°		 ← 360.26 m →
129 760 m²		 N 72.848502°
E160.565185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945999145507812 y=0.198898315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945999145507812 × 215)
    floor (0.945999145507812 × 32768)
    floor (30998.5)     		tx = 30998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198898315429688 × 215)
    floor (0.198898315429688 × 32768)
    floor (6517.5)     		ty = 6517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30998 / 6517 ti = "15/30998/6517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30998/6517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30998 ÷ 215
    30998 ÷ 32768     		x = 0.94598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6517 ÷ 215
    6517 ÷ 32768     		y = 0.198883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94598388671875 × 2 - 1) × π
    0.8919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80219940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198883056640625 × 2 - 1) × π
    0.60223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89197355420438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80219940} λ = 2.80219940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89197355420438))-π/2
    2×atan(6.63244526336152)-π/2
    2×1.42114954159713-π/2
    2.84229908319427-1.57079632675     		φ = 1.27150276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80219940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27150276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.851742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30998 KachelY 6517 2.80219940 1.27150276 160.554199 72.851742
    Oben rechts KachelX + 1 30999 KachelY 6517 2.80239115 1.27150276 160.565185 72.851742
    Unten links KachelX 30998 KachelY + 1 6518 2.80219940 1.27144622 160.554199 72.848502
    Unten rechts KachelX + 1 30999 KachelY + 1 6518 2.80239115 1.27144622 160.565185 72.848502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27150276-1.27144622) × R
    5.65399999998828e-05 × 6371000     		dl = 360.216339999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27150276-1.27144622) × R
    5.65399999998828e-05 × 6371000     		dr = 360.216339999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80219940-2.80239115) × cos(1.27150276) × R
    0.000191749999999935 × 0.294845251560145 × 6371000     		do = 360.194531981875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80219940-2.80239115) × cos(1.27144622) × R
    0.000191749999999935 × 0.294899277604045 × 6371000     		du = 360.260532317626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27150276)-sin(1.27144622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294845251560145-0.294899277604045)×R²
    abs(2.80239115-2.80219940)×5.40260439001461e-05×R²
    0.000191749999999935×5.40260439001461e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.40260439001461e-05×40589641000000     		ar = 129759.843233062m²