Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30998 / 17580
↖ ↑ ↗
← N 63.753350°
W  9.722900°		 ← 270.11 m → N 63.753350°
W  9.717407°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
N 63.750920°
W  9.722900°		 ← 270.14 m →
72 969 m²		 N 63.750920°
W  9.717407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472999572753906 y=0.268257141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472999572753906 × 216)
    floor (0.472999572753906 × 65536)
    floor (30998.5)     		tx = 30998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268257141113281 × 216)
    floor (0.268257141113281 × 65536)
    floor (17580.5)     		ty = 17580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30998 / 17580 ti = "16/30998/17580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30998/17580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30998 ÷ 216
    30998 ÷ 65536     		x = 0.472991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17580 ÷ 216
    17580 ÷ 65536     		y = 0.26824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.05401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16969662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26824951171875 × 2 - 1) × π
    0.4635009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45613126285883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16969662} λ = -0.16969662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45613126285883))-π/2
    2×atan(4.28933308519607)-π/2
    2×1.34175109456056-π/2
    2.68350218912112-1.57079632675     		φ = 1.11270586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16969662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.722900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11270586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.753350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30998 KachelY 17580 -0.16969662 1.11270586 -9.722900 63.753350
    Oben rechts KachelX + 1 30999 KachelY 17580 -0.16960075 1.11270586 -9.717407 63.753350
    Unten links KachelX 30998 KachelY + 1 17581 -0.16969662 1.11266346 -9.722900 63.750920
    Unten rechts KachelX + 1 30999 KachelY + 1 17581 -0.16960075 1.11266346 -9.717407 63.750920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11270586-1.11266346) × R
    4.2399999999887e-05 × 6371000     		dl = 270.13039999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11270586-1.11266346) × R
    4.2399999999887e-05 × 6371000     		dr = 270.13039999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16969662--0.16960075) × cos(1.11270586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44223625662028 × 6371000     		do = 270.112496994243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16969662--0.16960075) × cos(1.11266346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442274284723265 × 6371000     		du = 270.135724094462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11270586)-sin(1.11266346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44223625662028-0.442274284723265)×R²
    abs(-0.16960075--0.16969662)×3.80281029846441e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80281029846441e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80281029846441e-05×40589641000000     		ar = 72968.7340419796m²