Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30996 / 6510
↖ ↑ ↗
← N 72.874402°
E160.532227°		 ← 359.73 m → N 72.874402°
E160.543213°		 →
↑
359.71 m
↓
↑
359.71 m
↓
N 72.871167°
E160.532227°		 ← 359.80 m →
129 410 m²		 N 72.871167°
E160.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945938110351562 y=0.198684692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945938110351562 × 215)
    floor (0.945938110351562 × 32768)
    floor (30996.5)     		tx = 30996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198684692382812 × 215)
    floor (0.198684692382812 × 32768)
    floor (6510.5)     		ty = 6510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30996 / 6510 ti = "15/30996/6510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30996/6510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30996 ÷ 215
    30996 ÷ 32768     		x = 0.9459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6510 ÷ 215
    6510 ÷ 32768     		y = 0.19866943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9459228515625 × 2 - 1) × π
    0.891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80181591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19866943359375 × 2 - 1) × π
    0.6026611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89331578739374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80181591} λ = 2.80181591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89331578739374))-π/2
    2×atan(6.64135352866789)-π/2
    2×1.42134729029566-π/2
    2.84269458059131-1.57079632675     		φ = 1.27189825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80181591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27189825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.874402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30996 KachelY 6510 2.80181591 1.27189825 160.532227 72.874402
    Oben rechts KachelX + 1 30997 KachelY 6510 2.80200766 1.27189825 160.543213 72.874402
    Unten links KachelX 30996 KachelY + 1 6511 2.80181591 1.27184179 160.532227 72.871167
    Unten rechts KachelX + 1 30997 KachelY + 1 6511 2.80200766 1.27184179 160.543213 72.871167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27189825-1.27184179) × R
    5.64599999999249e-05 × 6371000     		dl = 359.706659999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27189825-1.27184179) × R
    5.64599999999249e-05 × 6371000     		dr = 359.706659999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80181591-2.80200766) × cos(1.27189825) × R
    0.000191749999999935 × 0.294467320012895 × 6371000     		do = 359.732835969941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80181591-2.80200766) × cos(1.27184179) × R
    0.000191749999999935 × 0.294521276194617 × 6371000     		du = 359.798750959313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27189825)-sin(1.27184179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294467320012895-0.294521276194617)×R²
    abs(2.80200766-2.80181591)×5.3956181722048e-05×R²
    0.000191749999999935×5.3956181722048e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.3956181722048e-05×40589641000000     		ar = 129410.151983092m²