Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30996 / 17581
↖ ↑ ↗
← N 63.750920°
W  9.733887°		 ← 270.14 m → N 63.750920°
W  9.728394°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
N 63.748491°
W  9.733887°		 ← 270.16 m →
72 975 m²		 N 63.748491°
W  9.728394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472969055175781 y=0.268272399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472969055175781 × 216)
    floor (0.472969055175781 × 65536)
    floor (30996.5)     		tx = 30996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268272399902344 × 216)
    floor (0.268272399902344 × 65536)
    floor (17581.5)     		ty = 17581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30996 / 17581 ti = "16/30996/17581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30996/17581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30996 ÷ 216
    30996 ÷ 65536     		x = 0.47296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17581 ÷ 216
    17581 ÷ 65536     		y = 0.268264770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16988837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268264770507812 × 2 - 1) × π
    0.463470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45603538905959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16988837} λ = -0.16988837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45603538905959))-π/2
    2×atan(4.28892187024968)-π/2
    2×1.34172989421414-π/2
    2.68345978842828-1.57079632675     		φ = 1.11266346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16988837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.733887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11266346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.750920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30996 KachelY 17581 -0.16988837 1.11266346 -9.733887 63.750920
    Oben rechts KachelX + 1 30997 KachelY 17581 -0.16979250 1.11266346 -9.728394 63.750920
    Unten links KachelX 30996 KachelY + 1 17582 -0.16988837 1.11262106 -9.733887 63.748491
    Unten rechts KachelX + 1 30997 KachelY + 1 17582 -0.16979250 1.11262106 -9.728394 63.748491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11266346-1.11262106) × R
    4.2400000000109e-05 × 6371000     		dl = 270.130400000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11266346-1.11262106) × R
    4.2400000000109e-05 × 6371000     		dr = 270.130400000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16988837--0.16979250) × cos(1.11266346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442274284723265 × 6371000     		do = 270.135724094462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16988837--0.16979250) × cos(1.11262106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442312312031147 × 6371000     		du = 270.158950709042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11266346)-sin(1.11262106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442274284723265-0.442312312031147)×R²
    abs(-0.16979250--0.16988837)×3.80273078818827e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80273078818827e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80273078818827e-05×40589641000000     		ar = 72975.0083221347m²