Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30994 / 6515
↖ ↑ ↗
← N 72.858219°
E160.510254°		 ← 360.06 m → N 72.858219°
E160.521240°		 →
↑
360.09 m
↓
↑
360.09 m
↓
N 72.854981°
E160.510254°		 ← 360.13 m →
129 666 m²		 N 72.854981°
E160.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945877075195312 y=0.198837280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945877075195312 × 215)
    floor (0.945877075195312 × 32768)
    floor (30994.5)     		tx = 30994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198837280273438 × 215)
    floor (0.198837280273438 × 32768)
    floor (6515.5)     		ty = 6515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30994 / 6515 ti = "15/30994/6515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30994/6515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30994 ÷ 215
    30994 ÷ 32768     		x = 0.94586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6515 ÷ 215
    6515 ÷ 32768     		y = 0.198822021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94586181640625 × 2 - 1) × π
    0.8917236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80143241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198822021484375 × 2 - 1) × π
    0.60235595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89235704940134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80143241} λ = 2.80143241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89235704940134))-π/2
    2×atan(6.63498926203858)-π/2
    2×1.42120606710915-π/2
    2.8424121342183-1.57079632675     		φ = 1.27161581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80143241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27161581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.858219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30994 KachelY 6515 2.80143241 1.27161581 160.510254 72.858219
    Oben rechts KachelX + 1 30995 KachelY 6515 2.80162416 1.27161581 160.521240 72.858219
    Unten links KachelX 30994 KachelY + 1 6516 2.80143241 1.27155929 160.510254 72.854981
    Unten rechts KachelX + 1 30995 KachelY + 1 6516 2.80162416 1.27155929 160.521240 72.854981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27161581-1.27155929) × R
    5.65200000000043e-05 × 6371000     		dl = 360.088920000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27161581-1.27155929) × R
    5.65200000000043e-05 × 6371000     		dr = 360.088920000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80143241-2.80162416) × cos(1.27161581) × R
    0.000191749999999935 × 0.294737225312209 × 6371000     		do = 360.062562877366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80143241-2.80162416) × cos(1.27155929) × R
    0.000191749999999935 × 0.294791234129309 × 6371000     		du = 360.128542168181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27161581)-sin(1.27155929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294737225312209-0.294791234129309)×R²
    abs(2.80162416-2.80143241)×5.4008817099882e-05×R²
    0.000191749999999935×5.4008817099882e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.4008817099882e-05×40589641000000     		ar = 129666.418639306m²