Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30994 / 6419
↖ ↑ ↗
← N 73.166355°
E160.510254°		 ← 353.78 m → N 73.166355°
E160.521240°		 →
↑
353.85 m
↓
↑
353.85 m
↓
N 73.163173°
E160.510254°		 ← 353.84 m →
125 195 m²		 N 73.163173°
E160.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945877075195312 y=0.195907592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945877075195312 × 215)
    floor (0.945877075195312 × 32768)
    floor (30994.5)     		tx = 30994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195907592773438 × 215)
    floor (0.195907592773438 × 32768)
    floor (6419.5)     		ty = 6419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30994 / 6419 ti = "15/30994/6419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30994/6419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30994 ÷ 215
    30994 ÷ 32768     		x = 0.94586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6419 ÷ 215
    6419 ÷ 32768     		y = 0.195892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94586181640625 × 2 - 1) × π
    0.8917236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80143241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195892333984375 × 2 - 1) × π
    0.60821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91076481885544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80143241} λ = 2.80143241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91076481885544))-π/2
    2×atan(6.75825566378297)-π/2
    2×1.42389506230962-π/2
    2.84779012461924-1.57079632675     		φ = 1.27699380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80143241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27699380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.166355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30994 KachelY 6419 2.80143241 1.27699380 160.510254 73.166355
    Oben rechts KachelX + 1 30995 KachelY 6419 2.80162416 1.27699380 160.521240 73.166355
    Unten links KachelX 30994 KachelY + 1 6420 2.80143241 1.27693826 160.510254 73.163173
    Unten rechts KachelX + 1 30995 KachelY + 1 6420 2.80162416 1.27693826 160.521240 73.163173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27699380-1.27693826) × R
    5.55399999999651e-05 × 6371000     		dl = 353.845339999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27699380-1.27693826) × R
    5.55399999999651e-05 × 6371000     		dr = 353.845339999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80143241-2.80162416) × cos(1.27699380) × R
    0.000191749999999935 × 0.289593897017422 × 6371000     		do = 353.779271156821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80143241-2.80162416) × cos(1.27693826) × R
    0.000191749999999935 × 0.289647056660048 × 6371000     		du = 353.844213062769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27699380)-sin(1.27693826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289593897017422-0.289647056660048)×R²
    abs(2.80162416-2.80143241)×5.31596426258107e-05×R²
    0.000191749999999935×5.31596426258107e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.31596426258107e-05×40589641000000     		ar = 125194.636214828m²