Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30994 / 6410
↖ ↑ ↗
← N 73.194966°
E160.510254°		 ← 353.20 m → N 73.194966°
E160.521240°		 →
↑
353.27 m
↓
↑
353.27 m
↓
N 73.191789°
E160.510254°		 ← 353.26 m →
124 785 m²		 N 73.191789°
E160.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945877075195312 y=0.195632934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945877075195312 × 215)
    floor (0.945877075195312 × 32768)
    floor (30994.5)     		tx = 30994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195632934570312 × 215)
    floor (0.195632934570312 × 32768)
    floor (6410.5)     		ty = 6410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30994 / 6410 ti = "15/30994/6410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30994/6410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30994 ÷ 215
    30994 ÷ 32768     		x = 0.94586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6410 ÷ 215
    6410 ÷ 32768     		y = 0.19561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94586181640625 × 2 - 1) × π
    0.8917236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80143241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19561767578125 × 2 - 1) × π
    0.6087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91249054724176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80143241} λ = 2.80143241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91249054724176))-π/2
    2×atan(6.76992864672602)-π/2
    2×1.42414473624532-π/2
    2.84828947249063-1.57079632675     		φ = 1.27749315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80143241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27749315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.194966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30994 KachelY 6410 2.80143241 1.27749315 160.510254 73.194966
    Oben rechts KachelX + 1 30995 KachelY 6410 2.80162416 1.27749315 160.521240 73.194966
    Unten links KachelX 30994 KachelY + 1 6411 2.80143241 1.27743770 160.510254 73.191789
    Unten rechts KachelX + 1 30995 KachelY + 1 6411 2.80162416 1.27743770 160.521240 73.191789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27749315-1.27743770) × R
    5.54500000000679e-05 × 6371000     		dl = 353.271950000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27749315-1.27743770) × R
    5.54500000000679e-05 × 6371000     		dr = 353.271950000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80143241-2.80162416) × cos(1.27749315) × R
    0.000191749999999935 × 0.289115908274643 × 6371000     		do = 353.195341347584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80143241-2.80162416) × cos(1.27743770) × R
    0.000191749999999935 × 0.289168989787921 × 6371000     		du = 353.260187807654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27749315)-sin(1.27743770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289115908274643-0.289168989787921)×R²
    abs(2.80162416-2.80143241)×5.30815132782081e-05×R²
    0.000191749999999935×5.30815132782081e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.30815132782081e-05×40589641000000     		ar = 124785.461218696m²