Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30993 / 6514
↖ ↑ ↗
← N 72.861457°
E160.499268°		 ← 359.98 m → N 72.861457°
E160.510254°		 →
↑
360.03 m
↓
↑
360.03 m
↓
N 72.858219°
E160.499268°		 ← 360.04 m →
129 613 m²		 N 72.858219°
E160.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945846557617188 y=0.198806762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945846557617188 × 215)
    floor (0.945846557617188 × 32768)
    floor (30993.5)     		tx = 30993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198806762695312 × 215)
    floor (0.198806762695312 × 32768)
    floor (6514.5)     		ty = 6514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30993 / 6514 ti = "15/30993/6514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30993/6514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30993 ÷ 215
    30993 ÷ 32768     		x = 0.945831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6514 ÷ 215
    6514 ÷ 32768     		y = 0.19879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945831298828125 × 2 - 1) × π
    0.89166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80124067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19879150390625 × 2 - 1) × π
    0.6024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89254879699982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80124067} λ = 2.80124067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89254879699982))-π/2
    2×atan(6.63626162727811)-π/2
    2×1.42123432209828-π/2
    2.84246864419656-1.57079632675     		φ = 1.27167232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80124067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27167232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.861457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30993 KachelY 6514 2.80124067 1.27167232 160.499268 72.861457
    Oben rechts KachelX + 1 30994 KachelY 6514 2.80143241 1.27167232 160.510254 72.861457
    Unten links KachelX 30993 KachelY + 1 6515 2.80124067 1.27161581 160.499268 72.858219
    Unten rechts KachelX + 1 30994 KachelY + 1 6515 2.80143241 1.27161581 160.510254 72.858219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27167232-1.27161581) × R
    5.65100000000651e-05 × 6371000     		dl = 360.025210000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27167232-1.27161581) × R
    5.65100000000651e-05 × 6371000     		dr = 360.025210000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80124067-2.80143241) × cos(1.27167232) × R
    0.000191739999999996 × 0.294683225109518 × 6371000     		do = 359.977819842093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80124067-2.80143241) × cos(1.27161581) × R
    0.000191739999999996 × 0.294737225312209 × 6371000     		du = 360.043785168855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27167232)-sin(1.27161581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294683225109518-0.294737225312209)×R²
    abs(2.80143241-2.80124067)×5.40002026910291e-05×R²
    0.000191739999999996×5.40002026910291e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.40002026910291e-05×40589641000000     		ar = 129612.964808738m²