Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30993 / 6418
↖ ↑ ↗
← N 73.169536°
E160.499268°		 ← 353.70 m → N 73.169536°
E160.510254°		 →
↑
353.72 m
↓
↑
353.72 m
↓
N 73.166355°
E160.499268°		 ← 353.76 m →
125 120 m²		 N 73.166355°
E160.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945846557617188 y=0.195877075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945846557617188 × 215)
    floor (0.945846557617188 × 32768)
    floor (30993.5)     		tx = 30993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195877075195312 × 215)
    floor (0.195877075195312 × 32768)
    floor (6418.5)     		ty = 6418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30993 / 6418 ti = "15/30993/6418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30993/6418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30993 ÷ 215
    30993 ÷ 32768     		x = 0.945831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6418 ÷ 215
    6418 ÷ 32768     		y = 0.19586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945831298828125 × 2 - 1) × π
    0.89166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80124067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19586181640625 × 2 - 1) × π
    0.6082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91095656645392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80124067} λ = 2.80124067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91095656645392))-π/2
    2×atan(6.75955166732523)-π/2
    2×1.42392282422928-π/2
    2.84784564845856-1.57079632675     		φ = 1.27704932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80124067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27704932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.169536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30993 KachelY 6418 2.80124067 1.27704932 160.499268 73.169536
    Oben rechts KachelX + 1 30994 KachelY 6418 2.80143241 1.27704932 160.510254 73.169536
    Unten links KachelX 30993 KachelY + 1 6419 2.80124067 1.27699380 160.499268 73.166355
    Unten rechts KachelX + 1 30994 KachelY + 1 6419 2.80143241 1.27699380 160.510254 73.166355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27704932-1.27699380) × R
    5.55199999998646e-05 × 6371000     		dl = 353.717919999137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27704932-1.27699380) × R
    5.55199999998646e-05 × 6371000     		dr = 353.717919999137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80124067-2.80143241) × cos(1.27704932) × R
    0.000191739999999996 × 0.289540755624803 × 6371000     		do = 353.695904904368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80124067-2.80143241) × cos(1.27699380) × R
    0.000191739999999996 × 0.289593897017422 × 6371000     		du = 353.760821129754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27704932)-sin(1.27699380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289540755624803-0.289593897017422)×R²
    abs(2.80143241-2.80124067)×5.31413926198043e-05×R²
    0.000191739999999996×5.31413926198043e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.31413926198043e-05×40589641000000     		ar = 125120.060843315m²