Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30993 / 19715
↖ ↑ ↗
← N 58.069161°
W  9.750366°		 ← 323.04 m → N 58.069161°
W  9.744873°		 →
↑
323.07 m
↓
↑
323.07 m
↓
N 58.066256°
W  9.750366°		 ← 323.07 m →
104 371 m²		 N 58.066256°
W  9.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472923278808594 y=0.300834655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472923278808594 × 216)
    floor (0.472923278808594 × 65536)
    floor (30993.5)     		tx = 30993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300834655761719 × 216)
    floor (0.300834655761719 × 65536)
    floor (19715.5)     		ty = 19715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30993 / 19715 ti = "16/30993/19715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30993/19715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30993 ÷ 216
    30993 ÷ 65536     		x = 0.472915649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19715 ÷ 216
    19715 ÷ 65536     		y = 0.300827026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472915649414062 × 2 - 1) × π
    -0.054168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17017599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300827026367188 × 2 - 1) × π
    0.398345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25144070148119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17017599} λ = -0.17017599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25144070148119))-π/2
    2×atan(3.49537512378484)-π/2
    2×1.29214719360194-π/2
    2.58429438720389-1.57079632675     		φ = 1.01349806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17017599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.750366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01349806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.069161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30993 KachelY 19715 -0.17017599 1.01349806 -9.750366 58.069161
    Oben rechts KachelX + 1 30994 KachelY 19715 -0.17008012 1.01349806 -9.744873 58.069161
    Unten links KachelX 30993 KachelY + 1 19716 -0.17017599 1.01344735 -9.750366 58.066256
    Unten rechts KachelX + 1 30994 KachelY + 1 19716 -0.17008012 1.01344735 -9.744873 58.066256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01349806-1.01344735) × R
    5.07100000000094e-05 × 6371000     		dl = 323.07341000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01349806-1.01344735) × R
    5.07100000000094e-05 × 6371000     		dr = 323.07341000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17017599--0.17008012) × cos(1.01349806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528895204779963 × 6371000     		do = 323.04272269124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17017599--0.17008012) × cos(1.01344735) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528938241024808 × 6371000     		du = 323.069008703258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01349806)-sin(1.01344735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528895204779963-0.528938241024808)×R²
    abs(-0.17008012--0.17017599)×4.30362448455845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30362448455845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30362448455845e-05×40589641000000     		ar = 104370.76017374m²