Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30992 / 6449
↖ ↑ ↗
← N 73.070645°
E160.488281°		 ← 355.73 m → N 73.070645°
E160.499268°		 →
↑
355.76 m
↓
↑
355.76 m
↓
N 73.067446°
E160.488281°		 ← 355.80 m →
126 566 m²		 N 73.067446°
E160.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945816040039062 y=0.196823120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945816040039062 × 215)
    floor (0.945816040039062 × 32768)
    floor (30992.5)     		tx = 30992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196823120117188 × 215)
    floor (0.196823120117188 × 32768)
    floor (6449.5)     		ty = 6449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30992 / 6449 ti = "15/30992/6449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30992/6449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30992 ÷ 215
    30992 ÷ 32768     		x = 0.94580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6449 ÷ 215
    6449 ÷ 32768     		y = 0.196807861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94580078125 × 2 - 1) × π
    0.8916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80104892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196807861328125 × 2 - 1) × π
    0.60638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90501239090103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80104892} λ = 2.80104892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90501239090103))-π/2
    2×atan(6.71949088766568)-π/2
    2×1.42305983142304-π/2
    2.84611966284608-1.57079632675     		φ = 1.27532334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80104892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27532334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.070645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30992 KachelY 6449 2.80104892 1.27532334 160.488281 73.070645
    Oben rechts KachelX + 1 30993 KachelY 6449 2.80124067 1.27532334 160.499268 73.070645
    Unten links KachelX 30992 KachelY + 1 6450 2.80104892 1.27526750 160.488281 73.067446
    Unten rechts KachelX + 1 30993 KachelY + 1 6450 2.80124067 1.27526750 160.499268 73.067446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27532334-1.27526750) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dl = 355.756639999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27532334-1.27526750) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dr = 355.756639999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80104892-2.80124067) × cos(1.27532334) × R
    0.000191749999999935 × 0.291192372363764 × 6371000     		do = 355.732031380069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80104892-2.80124067) × cos(1.27526750) × R
    0.000191749999999935 × 0.291245792056504 × 6371000     		du = 355.797290973442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27532334)-sin(1.27526750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291192372363764-0.291245792056504)×R²
    abs(2.80124067-2.80104892)×5.34196927394759e-05×R²
    0.000191749999999935×5.34196927394759e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.34196927394759e-05×40589641000000     		ar = 126565.640523877m²