Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30992 / 6448
↖ ↑ ↗
← N 73.073844°
E160.488281°		 ← 355.67 m → N 73.073844°
E160.499268°		 →
↑
355.69 m
↓
↑
355.69 m
↓
N 73.070645°
E160.488281°		 ← 355.73 m →
126 520 m²		 N 73.070645°
E160.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945816040039062 y=0.196792602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945816040039062 × 215)
    floor (0.945816040039062 × 32768)
    floor (30992.5)     		tx = 30992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196792602539062 × 215)
    floor (0.196792602539062 × 32768)
    floor (6448.5)     		ty = 6448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30992 / 6448 ti = "15/30992/6448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30992/6448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30992 ÷ 215
    30992 ÷ 32768     		x = 0.94580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6448 ÷ 215
    6448 ÷ 32768     		y = 0.19677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94580078125 × 2 - 1) × π
    0.8916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80104892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19677734375 × 2 - 1) × π
    0.6064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90520413849951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80104892} λ = 2.80104892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90520413849951))-π/2
    2×atan(6.72077945744254)-π/2
    2×1.42308774658201-π/2
    2.84617549316402-1.57079632675     		φ = 1.27537917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80104892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27537917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.073844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30992 KachelY 6448 2.80104892 1.27537917 160.488281 73.073844
    Oben rechts KachelX + 1 30993 KachelY 6448 2.80124067 1.27537917 160.499268 73.073844
    Unten links KachelX 30992 KachelY + 1 6449 2.80104892 1.27532334 160.488281 73.070645
    Unten rechts KachelX + 1 30993 KachelY + 1 6449 2.80124067 1.27532334 160.499268 73.070645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27537917-1.27532334) × R
    5.5829999999979e-05 × 6371000     		dl = 355.692929999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27537917-1.27532334) × R
    5.5829999999979e-05 × 6371000     		dr = 355.692929999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80104892-2.80124067) × cos(1.27537917) × R
    0.000191749999999935 × 0.291138961329864 × 6371000     		do = 355.666782364673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80104892-2.80124067) × cos(1.27532334) × R
    0.000191749999999935 × 0.291192372363764 × 6371000     		du = 355.732031380069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27537917)-sin(1.27532334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291138961329864-0.291192372363764)×R²
    abs(2.80124067-2.80104892)×5.34110339003302e-05×R²
    0.000191749999999935×5.34110339003302e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.34110339003302e-05×40589641000000     		ar = 126519.764262662m²