Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30991 / 6451
↖ ↑ ↗
← N 73.064245°
E160.477295°		 ← 355.86 m → N 73.064245°
E160.488281°		 →
↑
355.88 m
↓
↑
355.88 m
↓
N 73.061044°
E160.477295°		 ← 355.93 m →
126 657 m²		 N 73.061044°
E160.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945785522460938 y=0.196884155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945785522460938 × 215)
    floor (0.945785522460938 × 32768)
    floor (30991.5)     		tx = 30991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196884155273438 × 215)
    floor (0.196884155273438 × 32768)
    floor (6451.5)     		ty = 6451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30991 / 6451 ti = "15/30991/6451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30991/6451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30991 ÷ 215
    30991 ÷ 32768     		x = 0.945770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6451 ÷ 215
    6451 ÷ 32768     		y = 0.196868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945770263671875 × 2 - 1) × π
    0.89154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80085717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196868896484375 × 2 - 1) × π
    0.60626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90462889570407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80085717} λ = 2.80085717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90462889570407))-π/2
    2×atan(6.71691448923403)-π/2
    2×1.42300398574074-π/2
    2.84600797148147-1.57079632675     		φ = 1.27521164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80085717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27521164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.064245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30991 KachelY 6451 2.80085717 1.27521164 160.477295 73.064245
    Oben rechts KachelX + 1 30992 KachelY 6451 2.80104892 1.27521164 160.488281 73.064245
    Unten links KachelX 30991 KachelY + 1 6452 2.80085717 1.27515578 160.477295 73.061044
    Unten rechts KachelX + 1 30992 KachelY + 1 6452 2.80104892 1.27515578 160.488281 73.061044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27521164-1.27515578) × R
    5.58600000000187e-05 × 6371000     		dl = 355.884060000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27521164-1.27515578) × R
    5.58600000000187e-05 × 6371000     		dr = 355.884060000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80085717-2.80104892) × cos(1.27521164) × R
    0.000191749999999935 × 0.291299229973748 × 6371000     		do = 355.862572830586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80085717-2.80104892) × cos(1.27515578) × R
    0.000191749999999935 × 0.291352666982039 × 6371000     		du = 355.927853577318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27521164)-sin(1.27515578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291299229973748-0.291352666982039)×R²
    abs(2.80104892-2.80085717)×5.34370082916902e-05×R²
    0.000191749999999935×5.34370082916902e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.34370082916902e-05×40589641000000     		ar = 126657.43344182m²