Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30990 / 6493
↖ ↑ ↗
← N 72.929313°
E160.466308°		 ← 358.61 m → N 72.929313°
E160.477295°		 →
↑
358.62 m
↓
↑
358.62 m
↓
N 72.926088°
E160.466308°		 ← 358.68 m →
128 619 m²		 N 72.926088°
E160.477295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945755004882812 y=0.198165893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945755004882812 × 215)
    floor (0.945755004882812 × 32768)
    floor (30990.5)     		tx = 30990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198165893554688 × 215)
    floor (0.198165893554688 × 32768)
    floor (6493.5)     		ty = 6493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30990 / 6493 ti = "15/30990/6493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30990/6493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30990 ÷ 215
    30990 ÷ 32768     		x = 0.94573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6493 ÷ 215
    6493 ÷ 32768     		y = 0.198150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94573974609375 × 2 - 1) × π
    0.8914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80066542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198150634765625 × 2 - 1) × π
    0.60369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8965754965679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80066542} λ = 2.80066542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8965754965679))-π/2
    2×atan(6.66303773259256)-π/2
    2×1.42182648235651-π/2
    2.84365296471301-1.57079632675     		φ = 1.27285664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80066542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27285664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.929313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30990 KachelY 6493 2.80066542 1.27285664 160.466308 72.929313
    Oben rechts KachelX + 1 30991 KachelY 6493 2.80085717 1.27285664 160.477295 72.929313
    Unten links KachelX 30990 KachelY + 1 6494 2.80066542 1.27280035 160.466308 72.926088
    Unten rechts KachelX + 1 30991 KachelY + 1 6494 2.80085717 1.27280035 160.477295 72.926088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27285664-1.27280035) × R
    5.62900000000699e-05 × 6371000     		dl = 358.623590000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27285664-1.27280035) × R
    5.62900000000699e-05 × 6371000     		dr = 358.623590000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80066542-2.80085717) × cos(1.27285664) × R
    0.000191749999999935 × 0.29355128844477 × 6371000     		do = 358.613775852081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80066542-2.80085717) × cos(1.27280035) × R
    0.000191749999999935 × 0.293605098029451 × 6371000     		du = 358.679511752753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27285664)-sin(1.27280035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29355128844477-0.293605098029451)×R²
    abs(2.80085717-2.80066542)×5.38095846808195e-05×R²
    0.000191749999999935×5.38095846808195e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.38095846808195e-05×40589641000000     		ar = 128619.146975709m²