Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30990 / 6446
↖ ↑ ↗
← N 73.080240°
E160.466308°		 ← 355.54 m → N 73.080240°
E160.477295°		 →
↑
355.57 m
↓
↑
355.57 m
↓
N 73.077042°
E160.466308°		 ← 355.60 m →
126 428 m²		 N 73.077042°
E160.477295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945755004882812 y=0.196731567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945755004882812 × 215)
    floor (0.945755004882812 × 32768)
    floor (30990.5)     		tx = 30990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196731567382812 × 215)
    floor (0.196731567382812 × 32768)
    floor (6446.5)     		ty = 6446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30990 / 6446 ti = "15/30990/6446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30990/6446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30990 ÷ 215
    30990 ÷ 32768     		x = 0.94573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6446 ÷ 215
    6446 ÷ 32768     		y = 0.19671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94573974609375 × 2 - 1) × π
    0.8914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80066542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19671630859375 × 2 - 1) × π
    0.6065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90558763369647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80066542} λ = 2.80066542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90558763369647))-π/2
    2×atan(6.72335733835518)-π/2
    2×1.42314356153983-π/2
    2.84628712307965-1.57079632675     		φ = 1.27549080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80066542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27549080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.080240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30990 KachelY 6446 2.80066542 1.27549080 160.466308 73.080240
    Oben rechts KachelX + 1 30991 KachelY 6446 2.80085717 1.27549080 160.477295 73.080240
    Unten links KachelX 30990 KachelY + 1 6447 2.80066542 1.27543499 160.466308 73.077042
    Unten rechts KachelX + 1 30991 KachelY + 1 6447 2.80085717 1.27543499 160.477295 73.077042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27549080-1.27543499) × R
    5.58100000001005e-05 × 6371000     		dl = 355.56551000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27549080-1.27543499) × R
    5.58100000001005e-05 × 6371000     		dr = 355.56551000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80066542-2.80085717) × cos(1.27549080) × R
    0.000191749999999935 × 0.291032165241197 × 6371000     		do = 355.536316071011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80066542-2.80085717) × cos(1.27543499) × R
    0.000191749999999935 × 0.291085558955457 × 6371000     		du = 355.601543928054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27549080)-sin(1.27543499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291032165241197-0.291085558955457)×R²
    abs(2.80085717-2.80066542)×5.33937142598306e-05×R²
    0.000191749999999935×5.33937142598306e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.33937142598306e-05×40589641000000     		ar = 126428.047968222m²