Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30988 / 14076
↖ ↑ ↗
← N 71.081182°
W  9.777832°		 ← 198.03 m → N 71.081182°
W  9.772339°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
N 71.079401°
W  9.777832°		 ← 198.05 m →
39 227 m²		 N 71.079401°
W  9.772339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472846984863281 y=0.214790344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472846984863281 × 216)
    floor (0.472846984863281 × 65536)
    floor (30988.5)     		tx = 30988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214790344238281 × 216)
    floor (0.214790344238281 × 65536)
    floor (14076.5)     		ty = 14076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30988 / 14076 ti = "16/30988/14076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30988/14076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30988 ÷ 216
    30988 ÷ 65536     		x = 0.47283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14076 ÷ 216
    14076 ÷ 65536     		y = 0.21478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.0543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17065536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21478271484375 × 2 - 1) × π
    0.5704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79207305539618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17065536} λ = -0.17065536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79207305539618))-π/2
    2×atan(6.00188181204844)-π/2
    2×1.40569849364975-π/2
    2.81139698729949-1.57079632675     		φ = 1.24060066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17065536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24060066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.081182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30988 KachelY 14076 -0.17065536 1.24060066 -9.777832 71.081182
    Oben rechts KachelX + 1 30989 KachelY 14076 -0.17055949 1.24060066 -9.772339 71.081182
    Unten links KachelX 30988 KachelY + 1 14077 -0.17065536 1.24056957 -9.777832 71.079401
    Unten rechts KachelX + 1 30989 KachelY + 1 14077 -0.17055949 1.24056957 -9.772339 71.079401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24060066-1.24056957) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24060066-1.24056957) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17065536--0.17055949) × cos(1.24060066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324228131263808 × 6371000     		do = 198.034577265884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17065536--0.17055949) × cos(1.24056957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324257541591759 × 6371000     		du = 198.052540734508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24060066)-sin(1.24056957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324228131263808-0.324257541591759)×R²
    abs(-0.17055949--0.17065536)×2.9410327950341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9410327950341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9410327950341e-05×40589641000000     		ar = 39227.3571451721m²