Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30987 / 19872
↖ ↑ ↗
← N 57.610107°
W  9.783325°		 ← 327.22 m → N 57.610107°
W  9.777832°		 →
↑
327.21 m
↓
↑
327.21 m
↓
N 57.607164°
W  9.783325°		 ← 327.25 m →
107 075 m²		 N 57.607164°
W  9.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472831726074219 y=0.303230285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472831726074219 × 216)
    floor (0.472831726074219 × 65536)
    floor (30987.5)     		tx = 30987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303230285644531 × 216)
    floor (0.303230285644531 × 65536)
    floor (19872.5)     		ty = 19872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30987 / 19872 ti = "16/30987/19872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30987/19872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30987 ÷ 216
    30987 ÷ 65536     		x = 0.472824096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19872 ÷ 216
    19872 ÷ 65536     		y = 0.30322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472824096679688 × 2 - 1) × π
    -0.054351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17075124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30322265625 × 2 - 1) × π
    0.3935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23638851500049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17075124} λ = -0.17075124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23638851500049))-π/2
    2×atan(3.44315607694515)-π/2
    2×1.2881411883566-π/2
    2.5762823767132-1.57079632675     		φ = 1.00548605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17075124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00548605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.610107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30987 KachelY 19872 -0.17075124 1.00548605 -9.783325 57.610107
    Oben rechts KachelX + 1 30988 KachelY 19872 -0.17065536 1.00548605 -9.777832 57.610107
    Unten links KachelX 30987 KachelY + 1 19873 -0.17075124 1.00543469 -9.783325 57.607164
    Unten rechts KachelX + 1 30988 KachelY + 1 19873 -0.17065536 1.00543469 -9.777832 57.607164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00548605-1.00543469) × R
    5.13600000000558e-05 × 6371000     		dl = 327.214560000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00548605-1.00543469) × R
    5.13600000000558e-05 × 6371000     		dr = 327.214560000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17075124--0.17065536) × cos(1.00548605) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.535677846478232 × 6371000     		do = 327.219605324416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17075124--0.17065536) × cos(1.00543469) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.535721215307836 × 6371000     		du = 327.246097238165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00548605)-sin(1.00543469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535677846478232-0.535721215307836)×R²
    abs(-0.17065536--0.17075124)×4.33688296039847e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33688296039847e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33688296039847e-05×40589641000000     		ar = 107075.353473222m²