Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30987 / 17203
↖ ↑ ↗
← N 64.654464°
W  9.783325°		 ← 261.49 m → N 64.654464°
W  9.777832°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
N 64.652112°
W  9.783325°		 ← 261.51 m →
68 374 m²		 N 64.652112°
W  9.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472831726074219 y=0.262504577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472831726074219 × 216)
    floor (0.472831726074219 × 65536)
    floor (30987.5)     		tx = 30987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262504577636719 × 216)
    floor (0.262504577636719 × 65536)
    floor (17203.5)     		ty = 17203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30987 / 17203 ti = "16/30987/17203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30987/17203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30987 ÷ 216
    30987 ÷ 65536     		x = 0.472824096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17203 ÷ 216
    17203 ÷ 65536     		y = 0.262496948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472824096679688 × 2 - 1) × π
    -0.054351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17075124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262496948242188 × 2 - 1) × π
    0.475006103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49227568517235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17075124} λ = -0.17075124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49227568517235))-π/2
    2×atan(4.44720444949354)-π/2
    2×1.34961479839364-π/2
    2.69922959678728-1.57079632675     		φ = 1.12843327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17075124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12843327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.654464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30987 KachelY 17203 -0.17075124 1.12843327 -9.783325 64.654464
    Oben rechts KachelX + 1 30988 KachelY 17203 -0.17065536 1.12843327 -9.777832 64.654464
    Unten links KachelX 30987 KachelY + 1 17204 -0.17075124 1.12839223 -9.783325 64.652112
    Unten rechts KachelX + 1 30988 KachelY + 1 17204 -0.17065536 1.12839223 -9.777832 64.652112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12843327-1.12839223) × R
    4.10399999999367e-05 × 6371000     		dl = 261.465839999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12843327-1.12839223) × R
    4.10399999999367e-05 × 6371000     		dr = 261.465839999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17075124--0.17065536) × cos(1.12843327) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.428076253411305 × 6371000     		do = 261.491012949131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17075124--0.17065536) × cos(1.12839223) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.428113342647875 × 6371000     		du = 261.513668964181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12843327)-sin(1.12839223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428076253411305-0.428113342647875)×R²
    abs(-0.17065536--0.17075124)×3.70892365698094e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70892365698094e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70892365698094e-05×40589641000000     		ar = 68373.9292499519m²