Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30987 / 14077
↖ ↑ ↗
← N 71.079401°
W  9.783325°		 ← 198.07 m → N 71.079401°
W  9.777832°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
N 71.077619°
W  9.783325°		 ← 198.09 m →
39 235 m²		 N 71.077619°
W  9.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472831726074219 y=0.214805603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472831726074219 × 216)
    floor (0.472831726074219 × 65536)
    floor (30987.5)     		tx = 30987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214805603027344 × 216)
    floor (0.214805603027344 × 65536)
    floor (14077.5)     		ty = 14077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30987 / 14077 ti = "16/30987/14077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30987/14077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30987 ÷ 216
    30987 ÷ 65536     		x = 0.472824096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14077 ÷ 216
    14077 ÷ 65536     		y = 0.214797973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472824096679688 × 2 - 1) × π
    -0.054351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17075124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214797973632812 × 2 - 1) × π
    0.570404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79197718159694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17075124} λ = -0.17075124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79197718159694))-π/2
    2×atan(6.00130641641965)-π/2
    2×1.40568295045356-π/2
    2.81136590090712-1.57079632675     		φ = 1.24056957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17075124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24056957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.079401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30987 KachelY 14077 -0.17075124 1.24056957 -9.783325 71.079401
    Oben rechts KachelX + 1 30988 KachelY 14077 -0.17065536 1.24056957 -9.777832 71.079401
    Unten links KachelX 30987 KachelY + 1 14078 -0.17075124 1.24053848 -9.783325 71.077619
    Unten rechts KachelX + 1 30988 KachelY + 1 14078 -0.17065536 1.24053848 -9.777832 71.077619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24056957-1.24053848) × R
    3.10899999997893e-05 × 6371000     		dl = 198.074389998658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24056957-1.24053848) × R
    3.10899999997893e-05 × 6371000     		dr = 198.074389998658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17075124--0.17065536) × cos(1.24056957) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.324257541591759 × 6371000     		do = 198.073199182472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17075124--0.17065536) × cos(1.24053848) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.324286951606285 × 6371000     		du = 198.091164333372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24056957)-sin(1.24053848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324257541591759-0.324286951606285)×R²
    abs(-0.17065536--0.17075124)×2.94100145266096e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.94100145266096e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.94100145266096e-05×40589641000000     		ar = 39235.0073244611m²