Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30986 / 17126
↖ ↑ ↗
← N 64.834926°
W  9.788818°		 ← 259.72 m → N 64.834926°
W  9.783325°		 →
↑
259.75 m
↓
↑
259.75 m
↓
N 64.832590°
W  9.788818°		 ← 259.75 m →
67 465 m²		 N 64.832590°
W  9.783325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472816467285156 y=0.261329650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472816467285156 × 216)
    floor (0.472816467285156 × 65536)
    floor (30986.5)     		tx = 30986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261329650878906 × 216)
    floor (0.261329650878906 × 65536)
    floor (17126.5)     		ty = 17126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30986 / 17126 ti = "16/30986/17126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30986/17126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30986 ÷ 216
    30986 ÷ 65536     		x = 0.472808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17126 ÷ 216
    17126 ÷ 65536     		y = 0.261322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.05438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17084711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261322021484375 × 2 - 1) × π
    0.47735595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49965796771384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17084711} λ = -0.17084711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49965796771384))-π/2
    2×atan(4.48015645009721)-π/2
    2×1.35118962648413-π/2
    2.70237925296827-1.57079632675     		φ = 1.13158293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17084711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.788818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13158293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.834926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30986 KachelY 17126 -0.17084711 1.13158293 -9.788818 64.834926
    Oben rechts KachelX + 1 30987 KachelY 17126 -0.17075124 1.13158293 -9.783325 64.834926
    Unten links KachelX 30986 KachelY + 1 17127 -0.17084711 1.13154216 -9.788818 64.832590
    Unten rechts KachelX + 1 30987 KachelY + 1 17127 -0.17075124 1.13154216 -9.783325 64.832590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13158293-1.13154216) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dl = 259.745670000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13158293-1.13154216) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dr = 259.745670000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17084711--0.17075124) × cos(1.13158293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425227652807414 × 6371000     		do = 259.723849800569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17084711--0.17075124) × cos(1.13154216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425264552827694 × 6371000     		du = 259.746387881669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13158293)-sin(1.13154216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425227652807414-0.425264552827694)×R²
    abs(-0.17075124--0.17084711)×3.69000202797842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69000202797842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69000202797842e-05×40589641000000     		ar = 67465.0724753844m²