Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30986 / 14091
↖ ↑ ↗
← N 71.054448°
W  9.788818°		 ← 198.30 m → N 71.054448°
W  9.783325°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
N 71.052665°
W  9.788818°		 ← 198.32 m →
39 331 m²		 N 71.052665°
W  9.783325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472816467285156 y=0.215019226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472816467285156 × 216)
    floor (0.472816467285156 × 65536)
    floor (30986.5)     		tx = 30986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215019226074219 × 216)
    floor (0.215019226074219 × 65536)
    floor (14091.5)     		ty = 14091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30986 / 14091 ti = "16/30986/14091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30986/14091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30986 ÷ 216
    30986 ÷ 65536     		x = 0.472808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14091 ÷ 216
    14091 ÷ 65536     		y = 0.215011596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.05438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17084711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215011596679688 × 2 - 1) × π
    0.569976806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79063494840758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17084711} λ = -0.17084711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79063494840758))-π/2
    2×atan(5.99325666729675)-π/2
    2×1.40546519763364-π/2
    2.81093039526727-1.57079632675     		φ = 1.24013407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17084711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.788818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24013407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.054448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30986 KachelY 14091 -0.17084711 1.24013407 -9.788818 71.054448
    Oben rechts KachelX + 1 30987 KachelY 14091 -0.17075124 1.24013407 -9.783325 71.054448
    Unten links KachelX 30986 KachelY + 1 14092 -0.17084711 1.24010294 -9.788818 71.052665
    Unten rechts KachelX + 1 30987 KachelY + 1 14092 -0.17075124 1.24010294 -9.783325 71.052665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24013407-1.24010294) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24013407-1.24010294) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17084711--0.17075124) × cos(1.24013407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324669480259281 × 6371000     		do = 198.304147834621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17084711--0.17075124) × cos(1.24010294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324698923713169 × 6371000     		du = 198.322131536163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24013407)-sin(1.24010294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324669480259281-0.324698923713169)×R²
    abs(-0.17075124--0.17084711)×2.94434538881116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94434538881116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94434538881116e-05×40589641000000     		ar = 39331.2922960854m²