Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30984 / 6429
↖ ↑ ↗
← N 73.134510°
E160.400391°		 ← 354.43 m → N 73.134510°
E160.411377°		 →
↑
354.48 m
↓
↑
354.48 m
↓
N 73.131322°
E160.400391°		 ← 354.49 m →
125 650 m²		 N 73.131322°
E160.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945571899414062 y=0.196212768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945571899414062 × 215)
    floor (0.945571899414062 × 32768)
    floor (30984.5)     		tx = 30984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196212768554688 × 215)
    floor (0.196212768554688 × 32768)
    floor (6429.5)     		ty = 6429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30984 / 6429 ti = "15/30984/6429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30984/6429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30984 ÷ 215
    30984 ÷ 32768     		x = 0.945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6429 ÷ 215
    6429 ÷ 32768     		y = 0.196197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945556640625 × 2 - 1) × π
    0.89111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79951494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196197509765625 × 2 - 1) × π
    0.60760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90884734287064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79951494} λ = 2.79951494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90884734287064))-π/2
    2×atan(6.74530928699848)-π/2
    2×1.42361716271233-π/2
    2.84723432542466-1.57079632675     		φ = 1.27643800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79951494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27643800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.134510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30984 KachelY 6429 2.79951494 1.27643800 160.400391 73.134510
    Oben rechts KachelX + 1 30985 KachelY 6429 2.79970669 1.27643800 160.411377 73.134510
    Unten links KachelX 30984 KachelY + 1 6430 2.79951494 1.27638236 160.400391 73.131322
    Unten rechts KachelX + 1 30985 KachelY + 1 6430 2.79970669 1.27638236 160.411377 73.131322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27643800-1.27638236) × R
    5.56400000000234e-05 × 6371000     		dl = 354.482440000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27643800-1.27638236) × R
    5.56400000000234e-05 × 6371000     		dr = 354.482440000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79951494-2.79970669) × cos(1.27643800) × R
    0.000191749999999935 × 0.290125836013197 × 6371000     		do = 354.429108712664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79951494-2.79970669) × cos(1.27638236) × R
    0.000191749999999935 × 0.290179082404517 × 6371000     		du = 354.494156594222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27643800)-sin(1.27638236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290125836013197-0.290179082404517)×R²
    abs(2.79970669-2.79951494)×5.32463913203163e-05×R²
    0.000191749999999935×5.32463913203163e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.32463913203163e-05×40589641000000     		ar = 125650.424461968m²