Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30982 / 6458
↖ ↑ ↗
← N 73.041829°
E160.378418°		 ← 356.32 m → N 73.041829°
E160.389404°		 →
↑
356.33 m
↓
↑
356.33 m
↓
N 73.038624°
E160.378418°		 ← 356.39 m →
126 979 m²		 N 73.038624°
E160.389404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945510864257812 y=0.197097778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945510864257812 × 215)
    floor (0.945510864257812 × 32768)
    floor (30982.5)     		tx = 30982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197097778320312 × 215)
    floor (0.197097778320312 × 32768)
    floor (6458.5)     		ty = 6458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30982 / 6458 ti = "15/30982/6458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30982/6458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30982 ÷ 215
    30982 ÷ 32768     		x = 0.94549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6458 ÷ 215
    6458 ÷ 32768     		y = 0.19708251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94549560546875 × 2 - 1) × π
    0.8909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79913144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19708251953125 × 2 - 1) × π
    0.6058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90328666251471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79913144} λ = 2.79913144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90328666251471))-π/2
    2×atan(6.70790487153307)-π/2
    2×1.42280836443721-π/2
    2.84561672887442-1.57079632675     		φ = 1.27482040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79913144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27482040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.041829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30982 KachelY 6458 2.79913144 1.27482040 160.378418 73.041829
    Oben rechts KachelX + 1 30983 KachelY 6458 2.79932319 1.27482040 160.389404 73.041829
    Unten links KachelX 30982 KachelY + 1 6459 2.79913144 1.27476447 160.378418 73.038624
    Unten rechts KachelX + 1 30983 KachelY + 1 6459 2.79932319 1.27476447 160.389404 73.038624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27482040-1.27476447) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dl = 356.330030000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27482040-1.27476447) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dr = 356.330030000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79913144-2.79932319) × cos(1.27482040) × R
    0.000191749999999935 × 0.291673480368404 × 6371000     		do = 356.319771802026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79913144-2.79932319) × cos(1.27476447) × R
    0.000191749999999935 × 0.29172697796089 × 6371000     		du = 356.385126560787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27482040)-sin(1.27476447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291673480368404-0.29172697796089)×R²
    abs(2.79932319-2.79913144)×5.34975924855741e-05×R²
    0.000191749999999935×5.34975924855741e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.34975924855741e-05×40589641000000     		ar = 126979.078940786m²