Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30982 / 6452
↖ ↑ ↗
← N 73.061044°
E160.378418°		 ← 355.93 m → N 73.061044°
E160.389404°		 →
↑
355.95 m
↓
↑
355.95 m
↓
N 73.057843°
E160.378418°		 ← 355.99 m →
126 703 m²		 N 73.057843°
E160.389404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945510864257812 y=0.196914672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945510864257812 × 215)
    floor (0.945510864257812 × 32768)
    floor (30982.5)     		tx = 30982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196914672851562 × 215)
    floor (0.196914672851562 × 32768)
    floor (6452.5)     		ty = 6452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30982 / 6452 ti = "15/30982/6452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30982/6452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30982 ÷ 215
    30982 ÷ 32768     		x = 0.94549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6452 ÷ 215
    6452 ÷ 32768     		y = 0.1968994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94549560546875 × 2 - 1) × π
    0.8909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79913144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1968994140625 × 2 - 1) × π
    0.606201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90443714810559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79913144} λ = 2.79913144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90443714810559))-π/2
    2×atan(6.71562666048451)-π/2
    2×1.42297605521569-π/2
    2.84595211043138-1.57079632675     		φ = 1.27515578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79913144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27515578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.061044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30982 KachelY 6452 2.79913144 1.27515578 160.378418 73.061044
    Oben rechts KachelX + 1 30983 KachelY 6452 2.79932319 1.27515578 160.389404 73.061044
    Unten links KachelX 30982 KachelY + 1 6453 2.79913144 1.27509991 160.378418 73.057843
    Unten rechts KachelX + 1 30983 KachelY + 1 6453 2.79932319 1.27509991 160.389404 73.057843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27515578-1.27509991) × R
    5.58699999999579e-05 × 6371000     		dl = 355.947769999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27515578-1.27509991) × R
    5.58699999999579e-05 × 6371000     		dr = 355.947769999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79913144-2.79932319) × cos(1.27515578) × R
    0.000191749999999935 × 0.291352666982039 × 6371000     		do = 355.927853577318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79913144-2.79932319) × cos(1.27509991) × R
    0.000191749999999935 × 0.291406112647206 × 6371000     		du = 355.993144899628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27515578)-sin(1.27509991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291352666982039-0.291406112647206)×R²
    abs(2.79932319-2.79913144)×5.34456651666848e-05×R²
    0.000191749999999935×5.34456651666848e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.34456651666848e-05×40589641000000     		ar = 126703.345944851m²