Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30982 / 17165
↖ ↑ ↗
← N 64.743673°
W  9.810791°		 ← 260.63 m → N 64.743673°
W  9.805298°		 →
↑
260.57 m
↓
↑
260.57 m
↓
N 64.741330°
W  9.810791°		 ← 260.65 m →
67 917 m²		 N 64.741330°
W  9.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472755432128906 y=0.261924743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472755432128906 × 216)
    floor (0.472755432128906 × 65536)
    floor (30982.5)     		tx = 30982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261924743652344 × 216)
    floor (0.261924743652344 × 65536)
    floor (17165.5)     		ty = 17165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30982 / 17165 ti = "16/30982/17165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30982/17165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30982 ÷ 216
    30982 ÷ 65536     		x = 0.472747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17165 ÷ 216
    17165 ÷ 65536     		y = 0.261917114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.05450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17123061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261917114257812 × 2 - 1) × π
    0.476165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49591888954347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17123061} λ = -0.17123061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49591888954347))-π/2
    2×atan(4.46343607379207)-π/2
    2×1.35039330039749-π/2
    2.70078660079498-1.57079632675     		φ = 1.12999027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17123061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12999027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.743673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30982 KachelY 17165 -0.17123061 1.12999027 -9.810791 64.743673
    Oben rechts KachelX + 1 30983 KachelY 17165 -0.17113473 1.12999027 -9.805298 64.743673
    Unten links KachelX 30982 KachelY + 1 17166 -0.17123061 1.12994937 -9.810791 64.741330
    Unten rechts KachelX + 1 30983 KachelY + 1 17166 -0.17113473 1.12994937 -9.805298 64.741330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12999027-1.12994937) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dl = 260.573899999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12999027-1.12994937) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dr = 260.573899999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17123061--0.17113473) × cos(1.12999027) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426668607840563 × 6371000     		do = 260.631150568928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17123061--0.17113473) × cos(1.12994937) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426705597772437 × 6371000     		du = 260.653745923558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12999027)-sin(1.12994937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426668607840563-0.426705597772437)×R²
    abs(-0.17113473--0.17123061)×3.69899318733991e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.69899318733991e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.69899318733991e-05×40589641000000     		ar = 67916.6192544831m²