Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30982 / 17161
↖ ↑ ↗
← N 64.753047°
W  9.810791°		 ← 260.54 m → N 64.753047°
W  9.805298°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
N 64.750704°
W  9.810791°		 ← 260.56 m →
67 876 m²		 N 64.750704°
W  9.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472755432128906 y=0.261863708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472755432128906 × 216)
    floor (0.472755432128906 × 65536)
    floor (30982.5)     		tx = 30982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261863708496094 × 216)
    floor (0.261863708496094 × 65536)
    floor (17161.5)     		ty = 17161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30982 / 17161 ti = "16/30982/17161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30982/17161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30982 ÷ 216
    30982 ÷ 65536     		x = 0.472747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17161 ÷ 216
    17161 ÷ 65536     		y = 0.261856079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.05450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17123061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261856079101562 × 2 - 1) × π
    0.476287841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49630238474043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17123061} λ = -0.17123061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49630238474043))-π/2
    2×atan(4.46514810834584)-π/2
    2×1.35047509889118-π/2
    2.70095019778235-1.57079632675     		φ = 1.13015387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17123061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13015387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.753047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30982 KachelY 17161 -0.17123061 1.13015387 -9.810791 64.753047
    Oben rechts KachelX + 1 30983 KachelY 17161 -0.17113473 1.13015387 -9.805298 64.753047
    Unten links KachelX 30982 KachelY + 1 17162 -0.17123061 1.13011298 -9.810791 64.750704
    Unten rechts KachelX + 1 30983 KachelY + 1 17162 -0.17113473 1.13011298 -9.805298 64.750704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13015387-1.13011298) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dl = 260.510189999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13015387-1.13011298) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dr = 260.510189999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17123061--0.17113473) × cos(1.13015387) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426520640976333 × 6371000     		do = 260.540764790922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17123061--0.17113473) × cos(1.13011298) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426557624718173 × 6371000     		du = 260.563356364361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13015387)-sin(1.13011298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426520640976333-0.426557624718173)×R²
    abs(-0.17113473--0.17123061)×3.69837418404129e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.69837418404129e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.69837418404129e-05×40589641000000     		ar = 67876.466815504m²