Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30981 / 37242
↖ ↑ ↗
← S 23.855698°
W  9.816284°		 ← 558.61 m → S 23.855698°
W  9.810791°		 →
↑
558.61 m
↓
↑
558.61 m
↓
S 23.860722°
W  9.816284°		 ← 558.58 m →
312 037 m²		 S 23.860722°
W  9.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472740173339844 y=0.568275451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472740173339844 × 216)
    floor (0.472740173339844 × 65536)
    floor (30981.5)     		tx = 30981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568275451660156 × 216)
    floor (0.568275451660156 × 65536)
    floor (37242.5)     		ty = 37242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30981 / 37242 ti = "16/30981/37242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30981/37242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30981 ÷ 216
    30981 ÷ 65536     		x = 0.472732543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37242 ÷ 216
    37242 ÷ 65536     		y = 0.568267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.054534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17132648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.13653564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.428939377800262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17132648} λ = -0.17132648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.428939377800262))-π/2
    2×atan(0.651199405124868)-π/2
    2×0.577217925587246-π/2
    1.15443585117449-1.57079632675     		φ = -0.41636048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17132648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41636048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.855698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30981 KachelY 37242 -0.17132648 -0.41636048 -9.816284 -23.855698
    Oben rechts KachelX + 1 30982 KachelY 37242 -0.17123061 -0.41636048 -9.810791 -23.855698
    Unten links KachelX 30981 KachelY + 1 37243 -0.17132648 -0.41644816 -9.816284 -23.860722
    Unten rechts KachelX + 1 30982 KachelY + 1 37243 -0.17123061 -0.41644816 -9.810791 -23.860722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41636048--0.41644816) × R
    8.76800000000344e-05 × 6371000     		dl = 558.609280000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41636048--0.41644816) × R
    8.76800000000344e-05 × 6371000     		dr = 558.609280000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17132648--0.17123061) × cos(-0.41636048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.914566941930418 × 6371000     		do = 558.606302977387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17132648--0.17123061) × cos(-0.41644816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.914531477593245 × 6371000     		du = 558.584641793971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41636048)-sin(-0.41644816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914566941930418-0.914531477593245)×R²
    abs(-0.17123061--0.17132648)×3.54643371731633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54643371731633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54643371731633e-05×40589641000000     		ar = 312036.61484061m²