Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30981 / 19691
↖ ↑ ↗
← N 58.138821°
W  9.816284°		 ← 322.41 m → N 58.138821°
W  9.810791°		 →
↑
322.44 m
↓
↑
322.44 m
↓
N 58.135921°
W  9.816284°		 ← 322.44 m →
103 962 m²		 N 58.135921°
W  9.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472740173339844 y=0.300468444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472740173339844 × 216)
    floor (0.472740173339844 × 65536)
    floor (30981.5)     		tx = 30981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300468444824219 × 216)
    floor (0.300468444824219 × 65536)
    floor (19691.5)     		ty = 19691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30981 / 19691 ti = "16/30981/19691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30981/19691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30981 ÷ 216
    30981 ÷ 65536     		x = 0.472732543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19691 ÷ 216
    19691 ÷ 65536     		y = 0.300460815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.054534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17132648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300460815429688 × 2 - 1) × π
    0.399078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25374167266295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17132648} λ = -0.17132648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25374167266295))-π/2
    2×atan(3.50342714139175)-π/2
    2×1.292755086023-π/2
    2.585510172046-1.57079632675     		φ = 1.01471385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17132648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01471385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.138821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30981 KachelY 19691 -0.17132648 1.01471385 -9.816284 58.138821
    Oben rechts KachelX + 1 30982 KachelY 19691 -0.17123061 1.01471385 -9.810791 58.138821
    Unten links KachelX 30981 KachelY + 1 19692 -0.17132648 1.01466324 -9.816284 58.135921
    Unten rechts KachelX + 1 30982 KachelY + 1 19692 -0.17123061 1.01466324 -9.810791 58.135921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01471385-1.01466324) × R
    5.0609999999951e-05 × 6371000     		dl = 322.436309999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01471385-1.01466324) × R
    5.0609999999951e-05 × 6371000     		dr = 322.436309999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17132648--0.17123061) × cos(1.01471385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527862988803737 × 6371000     		do = 322.412257796963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17132648--0.17123061) × cos(1.01466324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527905972695638 × 6371000     		du = 322.438511832443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01471385)-sin(1.01466324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527862988803737-0.527905972695638)×R²
    abs(-0.17123061--0.17132648)×4.29838919007164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29838919007164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29838919007164e-05×40589641000000     		ar = 103961.651352072m²