Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30981 / 17140
↖ ↑ ↗
← N 64.802204°
W  9.816284°		 ← 260.04 m → N 64.802204°
W  9.810791°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
N 64.799866°
W  9.816284°		 ← 260.06 m →
67 613 m²		 N 64.799866°
W  9.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472740173339844 y=0.261543273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472740173339844 × 216)
    floor (0.472740173339844 × 65536)
    floor (30981.5)     		tx = 30981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261543273925781 × 216)
    floor (0.261543273925781 × 65536)
    floor (17140.5)     		ty = 17140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30981 / 17140 ti = "16/30981/17140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30981/17140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30981 ÷ 216
    30981 ÷ 65536     		x = 0.472732543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17140 ÷ 216
    17140 ÷ 65536     		y = 0.26153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.054534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17132648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26153564453125 × 2 - 1) × π
    0.4769287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49831573452448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17132648} λ = -0.17132648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49831573452448))-π/2
    2×atan(4.47414706931373)-π/2
    2×1.35090407574932-π/2
    2.70180815149863-1.57079632675     		φ = 1.13101182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17132648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13101182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.802204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30981 KachelY 17140 -0.17132648 1.13101182 -9.816284 64.802204
    Oben rechts KachelX + 1 30982 KachelY 17140 -0.17123061 1.13101182 -9.810791 64.802204
    Unten links KachelX 30981 KachelY + 1 17141 -0.17132648 1.13097101 -9.816284 64.799866
    Unten rechts KachelX + 1 30982 KachelY + 1 17141 -0.17123061 1.13097101 -9.810791 64.799866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13101182-1.13097101) × R
    4.08099999997802e-05 × 6371000     		dl = 260.0005099986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13101182-1.13097101) × R
    4.08099999997802e-05 × 6371000     		dr = 260.0005099986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17132648--0.17123061) × cos(1.13101182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425744487342035 × 6371000     		do = 260.039526013429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17132648--0.17123061) × cos(1.13097101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425781413647844 × 6371000     		du = 260.062080149408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13101182)-sin(1.13097101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425744487342035-0.425781413647844)×R²
    abs(-0.17123061--0.17132648)×3.69263058087599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69263058087599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69263058087599e-05×40589641000000     		ar = 67613.3414364131m²