Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30980 / 6455
↖ ↑ ↗
← N 73.051439°
E160.356445°		 ← 356.12 m → N 73.051439°
E160.367432°		 →
↑
356.14 m
↓
↑
356.14 m
↓
N 73.048237°
E160.356445°		 ← 356.19 m →
126 841 m²		 N 73.048237°
E160.367432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945449829101562 y=0.197006225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945449829101562 × 215)
    floor (0.945449829101562 × 32768)
    floor (30980.5)     		tx = 30980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197006225585938 × 215)
    floor (0.197006225585938 × 32768)
    floor (6455.5)     		ty = 6455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30980 / 6455 ti = "15/30980/6455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30980/6455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30980 ÷ 215
    30980 ÷ 32768     		x = 0.9454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6455 ÷ 215
    6455 ÷ 32768     		y = 0.196990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9454345703125 × 2 - 1) × π
    0.890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79874795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196990966796875 × 2 - 1) × π
    0.60601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90386190531015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79874795} λ = 2.79874795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90386190531015))-π/2
    2×atan(6.71176465553295)-π/2
    2×1.42289223289476-π/2
    2.84578446578951-1.57079632675     		φ = 1.27498814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79874795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27498814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.051439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30980 KachelY 6455 2.79874795 1.27498814 160.356445 73.051439
    Oben rechts KachelX + 1 30981 KachelY 6455 2.79893970 1.27498814 160.367432 73.051439
    Unten links KachelX 30980 KachelY + 1 6456 2.79874795 1.27493224 160.356445 73.048237
    Unten rechts KachelX + 1 30981 KachelY + 1 6456 2.79893970 1.27493224 160.367432 73.048237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27498814-1.27493224) × R
    5.58999999999976e-05 × 6371000     		dl = 356.138899999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27498814-1.27493224) × R
    5.58999999999976e-05 × 6371000     		dr = 356.138899999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79874795-2.79893970) × cos(1.27498814) × R
    0.000191749999999935 × 0.291513029945544 × 6371000     		do = 356.123759267781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79874795-2.79893970) × cos(1.27493224) × R
    0.000191749999999935 × 0.291566501577403 × 6371000     		du = 356.189082312022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27498814)-sin(1.27493224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291513029945544-0.291566501577403)×R²
    abs(2.79893970-2.79874795)×5.34716318597028e-05×R²
    0.000191749999999935×5.34716318597028e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.34716318597028e-05×40589641000000     		ar = 126841.155960905m²