Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3098 / 5036
↖ ↑ ↗
← S 38.134557°
W 43.857422°		 ← 3 843.53 m → S 38.134557°
W 43.813476°		 →
↑
3 842.60 m
↓
↑
3 842.60 m
↓
S 38.169114°
W 43.857422°		 ← 3 841.71 m →
14 765 683 m²		 S 38.169114°
W 43.813476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37823486328125 y=0.61480712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37823486328125 × 213)
    floor (0.37823486328125 × 8192)
    floor (3098.5)     		tx = 3098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61480712890625 × 213)
    floor (0.61480712890625 × 8192)
    floor (5036.5)     		ty = 5036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3098 / 5036 ti = "13/3098/5036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3098/5036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3098 ÷ 213
    3098 ÷ 8192     		x = 0.378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5036 ÷ 213
    5036 ÷ 8192     		y = 0.61474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61474609375 × 2 - 1) × π
    -0.2294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.720970970285644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76545641} λ = -0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720970970285644))-π/2
    2×atan(0.486279863359667)-π/2
    2×0.452611377876726-π/2
    0.905222755753452-1.57079632675     		φ = -0.66557357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66557357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.134557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3098 KachelY 5036 -0.76545641 -0.66557357 -43.857422 -38.134557
    Oben rechts KachelX + 1 3099 KachelY 5036 -0.76468942 -0.66557357 -43.813476 -38.134557
    Unten links KachelX 3098 KachelY + 1 5037 -0.76545641 -0.66617671 -43.857422 -38.169114
    Unten rechts KachelX + 1 3099 KachelY + 1 5037 -0.76468942 -0.66617671 -43.813476 -38.169114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66557357--0.66617671) × R
    0.000603140000000058 × 6371000     		dl = 3842.60494000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66557357--0.66617671) × R
    0.000603140000000058 × 6371000     		dr = 3842.60494000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76545641--0.76468942) × cos(-0.66557357) × R
    0.000766990000000023 × 0.786562729100136 × 6371000     		do = 3843.53349791202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76545641--0.76468942) × cos(-0.66617671) × R
    0.000766990000000023 × 0.786190140843228 × 6371000     		du = 3841.7128478947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66557357)-sin(-0.66617671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786562729100136-0.786190140843228)×R²
    abs(-0.76468942--0.76545641)×0.000372588256908002×R²
    0.000766990000000023×0.000372588256908002×6371000²
    0.000766990000000023×0.000372588256908002×40589641000000     		ar = 14765683.2343785m²