Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30979 / 6443
↖ ↑ ↗
← N 73.089829°
E160.345459°		 ← 355.34 m → N 73.089829°
E160.356445°		 →
↑
355.31 m
↓
↑
355.31 m
↓
N 73.086633°
E160.345459°		 ← 355.41 m →
126 268 m²		 N 73.086633°
E160.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945419311523438 y=0.196640014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945419311523438 × 215)
    floor (0.945419311523438 × 32768)
    floor (30979.5)     		tx = 30979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196640014648438 × 215)
    floor (0.196640014648438 × 32768)
    floor (6443.5)     		ty = 6443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30979 / 6443 ti = "15/30979/6443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30979/6443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30979 ÷ 215
    30979 ÷ 32768     		x = 0.945404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6443 ÷ 215
    6443 ÷ 32768     		y = 0.196624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945404052734375 × 2 - 1) × π
    0.89080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79855620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196624755859375 × 2 - 1) × π
    0.60675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90616287649191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79855620} λ = 2.79855620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90616287649191))-π/2
    2×atan(6.72722601383241)-π/2
    2×1.42322724558905-π/2
    2.84645449117811-1.57079632675     		φ = 1.27565816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79855620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27565816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.089829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30979 KachelY 6443 2.79855620 1.27565816 160.345459 73.089829
    Oben rechts KachelX + 1 30980 KachelY 6443 2.79874795 1.27565816 160.356445 73.089829
    Unten links KachelX 30979 KachelY + 1 6444 2.79855620 1.27560239 160.345459 73.086633
    Unten rechts KachelX + 1 30980 KachelY + 1 6444 2.79874795 1.27560239 160.356445 73.086633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27565816-1.27560239) × R
    5.57700000001216e-05 × 6371000     		dl = 355.310670000774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27565816-1.27560239) × R
    5.57700000001216e-05 × 6371000     		dr = 355.310670000774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79855620-2.79874795) × cos(1.27565816) × R
    0.000191749999999935 × 0.290872045633456 × 6371000     		do = 355.3407076735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79855620-2.79874795) × cos(1.27560239) × R
    0.000191749999999935 × 0.290925403795733 × 6371000     		du = 355.405892098847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27565816)-sin(1.27560239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290872045633456-0.290925403795733)×R²
    abs(2.79874795-2.79855620)×5.33581622777501e-05×R²
    0.000191749999999935×5.33581622777501e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.33581622777501e-05×40589641000000     		ar = 126267.925315622m²