Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30979 / 6441
↖ ↑ ↗
← N 73.096219°
E160.345459°		 ← 355.21 m → N 73.096219°
E160.356445°		 →
↑
355.25 m
↓
↑
355.25 m
↓
N 73.093024°
E160.345459°		 ← 355.28 m →
126 199 m²		 N 73.093024°
E160.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945419311523438 y=0.196578979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945419311523438 × 215)
    floor (0.945419311523438 × 32768)
    floor (30979.5)     		tx = 30979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196578979492188 × 215)
    floor (0.196578979492188 × 32768)
    floor (6441.5)     		ty = 6441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30979 / 6441 ti = "15/30979/6441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30979/6441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30979 ÷ 215
    30979 ÷ 32768     		x = 0.945404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6441 ÷ 215
    6441 ÷ 32768     		y = 0.196563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945404052734375 × 2 - 1) × π
    0.89080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79855620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196563720703125 × 2 - 1) × π
    0.60687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90654637168887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79855620} λ = 2.79855620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90654637168887))-π/2
    2×atan(6.72980636744256)-π/2
    2×1.42328300937348-π/2
    2.84656601874695-1.57079632675     		φ = 1.27576969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79855620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27576969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.096219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30979 KachelY 6441 2.79855620 1.27576969 160.345459 73.096219
    Oben rechts KachelX + 1 30980 KachelY 6441 2.79874795 1.27576969 160.356445 73.096219
    Unten links KachelX 30979 KachelY + 1 6442 2.79855620 1.27571393 160.345459 73.093024
    Unten rechts KachelX + 1 30980 KachelY + 1 6442 2.79874795 1.27571393 160.356445 73.093024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27576969-1.27571393) × R
    5.57599999999603e-05 × 6371000     		dl = 355.246959999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27576969-1.27571393) × R
    5.57599999999603e-05 × 6371000     		dr = 355.246959999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79855620-2.79874795) × cos(1.27576969) × R
    0.000191749999999935 × 0.290765336162919 × 6371000     		do = 355.210347195946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79855620-2.79874795) × cos(1.27571393) × R
    0.000191749999999935 × 0.290818686566481 × 6371000     		du = 355.27552214294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27576969)-sin(1.27571393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290765336162919-0.290818686566481)×R²
    abs(2.79874795-2.79855620)×5.33504035621912e-05×R²
    0.000191749999999935×5.33504035621912e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.33504035621912e-05×40589641000000     		ar = 126198.972635116m²