Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30979 / 17157
↖ ↑ ↗
← N 64.762417°
W  9.827271°		 ← 260.45 m → N 64.762417°
W  9.821777°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
N 64.760075°
W  9.827271°		 ← 260.47 m →
67 836 m²		 N 64.760075°
W  9.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472709655761719 y=0.261802673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472709655761719 × 216)
    floor (0.472709655761719 × 65536)
    floor (30979.5)     		tx = 30979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261802673339844 × 216)
    floor (0.261802673339844 × 65536)
    floor (17157.5)     		ty = 17157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30979 / 17157 ti = "16/30979/17157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30979/17157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30979 ÷ 216
    30979 ÷ 65536     		x = 0.472702026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17157 ÷ 216
    17157 ÷ 65536     		y = 0.261795043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472702026367188 × 2 - 1) × π
    -0.054595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17151823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261795043945312 × 2 - 1) × π
    0.476409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49668587993739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17151823} λ = -0.17151823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49668587993739))-π/2
    2×atan(4.46686079958255)-π/2
    2×1.35055686901692-π/2
    2.70111373803384-1.57079632675     		φ = 1.13031741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17151823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.827271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13031741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.762417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30979 KachelY 17157 -0.17151823 1.13031741 -9.827271 64.762417
    Oben rechts KachelX + 1 30980 KachelY 17157 -0.17142235 1.13031741 -9.821777 64.762417
    Unten links KachelX 30979 KachelY + 1 17158 -0.17151823 1.13027653 -9.827271 64.760075
    Unten rechts KachelX + 1 30980 KachelY + 1 17158 -0.17142235 1.13027653 -9.821777 64.760075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13031741-1.13027653) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13031741-1.13027653) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17151823--0.17142235) × cos(1.13031741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.42637271696915 × 6371000     		do = 260.450405192206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17151823--0.17142235) × cos(1.13027653) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426409694517525 × 6371000     		du = 260.472992982358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13031741)-sin(1.13027653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42637271696915-0.426409694517525)×R²
    abs(-0.17142235--0.17151823)×3.69775483758938e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.69775483758938e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.69775483758938e-05×40589641000000     		ar = 67836.3327118201m²