Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30978 / 17154
↖ ↑ ↗
← N 64.769443°
W  9.832764°		 ← 260.36 m → N 64.769443°
W  9.827271°		 →
↑
260.38 m
↓
↑
260.38 m
↓
N 64.767101°
W  9.832764°		 ← 260.38 m →
67 795 m²		 N 64.767101°
W  9.827271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472694396972656 y=0.261756896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472694396972656 × 216)
    floor (0.472694396972656 × 65536)
    floor (30978.5)     		tx = 30978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261756896972656 × 216)
    floor (0.261756896972656 × 65536)
    floor (17154.5)     		ty = 17154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30978 / 17154 ti = "16/30978/17154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30978/17154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30978 ÷ 216
    30978 ÷ 65536     		x = 0.472686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17154 ÷ 216
    17154 ÷ 65536     		y = 0.261749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.05462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17161410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261749267578125 × 2 - 1) × π
    0.47650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49697350133511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17161410} λ = -0.17161410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49697350133511))-π/2
    2×atan(4.46814574910978)-π/2
    2×1.35061817799937-π/2
    2.70123635599873-1.57079632675     		φ = 1.13044003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17161410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13044003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.769443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30978 KachelY 17154 -0.17161410 1.13044003 -9.832764 64.769443
    Oben rechts KachelX + 1 30979 KachelY 17154 -0.17151823 1.13044003 -9.827271 64.769443
    Unten links KachelX 30978 KachelY + 1 17155 -0.17161410 1.13039916 -9.832764 64.767101
    Unten rechts KachelX + 1 30979 KachelY + 1 17155 -0.17151823 1.13039916 -9.827271 64.767101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13044003-1.13039916) × R
    4.08699999998596e-05 × 6371000     		dl = 260.382769999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13044003-1.13039916) × R
    4.08699999998596e-05 × 6371000     		dr = 260.382769999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17161410--0.17151823) × cos(1.13044003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426261798141007 × 6371000     		do = 260.35549312273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17161410--0.17151823) × cos(1.13039916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426298768780654 × 6371000     		du = 260.378074337276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13044003)-sin(1.13039916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426261798141007-0.426298768780654)×R²
    abs(-0.17151823--0.17161410)×3.69706396471936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69706396471936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69706396471936e-05×40589641000000     		ar = 67795.0243727805m²