Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30977 / 19741
↖ ↑ ↗
← N 57.993544°
W  9.838257°		 ← 323.73 m → N 57.993544°
W  9.832764°		 →
↑
323.77 m
↓
↑
323.77 m
↓
N 57.990632°
W  9.838257°		 ← 323.75 m →
104 819 m²		 N 57.990632°
W  9.832764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472679138183594 y=0.301231384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472679138183594 × 216)
    floor (0.472679138183594 × 65536)
    floor (30977.5)     		tx = 30977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301231384277344 × 216)
    floor (0.301231384277344 × 65536)
    floor (19741.5)     		ty = 19741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30977 / 19741 ti = "16/30977/19741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30977/19741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30977 ÷ 216
    30977 ÷ 65536     		x = 0.472671508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19741 ÷ 216
    19741 ÷ 65536     		y = 0.301223754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472671508789062 × 2 - 1) × π
    -0.054656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17170997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301223754882812 × 2 - 1) × π
    0.397552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24894798270094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17170997} λ = -0.17170997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24894798270094))-π/2
    2×atan(3.4866729870656)-π/2
    2×1.29148730252244-π/2
    2.58297460504487-1.57079632675     		φ = 1.01217828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17170997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.838257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01217828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.993544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30977 KachelY 19741 -0.17170997 1.01217828 -9.838257 57.993544
    Oben rechts KachelX + 1 30978 KachelY 19741 -0.17161410 1.01217828 -9.832764 57.993544
    Unten links KachelX 30977 KachelY + 1 19742 -0.17170997 1.01212746 -9.838257 57.990632
    Unten rechts KachelX + 1 30978 KachelY + 1 19742 -0.17161410 1.01212746 -9.832764 57.990632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01217828-1.01212746) × R
    5.0820000000007e-05 × 6371000     		dl = 323.774220000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01217828-1.01212746) × R
    5.0820000000007e-05 × 6371000     		dr = 323.774220000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17170997--0.17161410) × cos(1.01217828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530014824149162 × 6371000     		do = 323.726572509002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17170997--0.17161410) × cos(1.01212746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530057918233995 × 6371000     		du = 323.752893848977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01217828)-sin(1.01212746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530014824149162-0.530057918233995)×R²
    abs(-0.17161410--0.17170997)×4.30940848330508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30940848330508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30940848330508e-05×40589641000000     		ar = 104818.579615355m²