Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30977 / 19681
↖ ↑ ↗
← N 58.167805°
W  9.838257°		 ← 322.15 m → N 58.167805°
W  9.832764°		 →
↑
322.18 m
↓
↑
322.18 m
↓
N 58.164908°
W  9.838257°		 ← 322.18 m →
103 795 m²		 N 58.164908°
W  9.832764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472679138183594 y=0.300315856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472679138183594 × 216)
    floor (0.472679138183594 × 65536)
    floor (30977.5)     		tx = 30977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300315856933594 × 216)
    floor (0.300315856933594 × 65536)
    floor (19681.5)     		ty = 19681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30977 / 19681 ti = "16/30977/19681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30977/19681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30977 ÷ 216
    30977 ÷ 65536     		x = 0.472671508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19681 ÷ 216
    19681 ÷ 65536     		y = 0.300308227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472671508789062 × 2 - 1) × π
    -0.054656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17170997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300308227539062 × 2 - 1) × π
    0.399383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25470041065535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17170997} λ = -0.17170997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25470041065535))-π/2
    2×atan(3.50678762074802)-π/2
    2×1.29300802416943-π/2
    2.58601604833886-1.57079632675     		φ = 1.01521972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17170997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.838257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01521972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.167805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30977 KachelY 19681 -0.17170997 1.01521972 -9.838257 58.167805
    Oben rechts KachelX + 1 30978 KachelY 19681 -0.17161410 1.01521972 -9.832764 58.167805
    Unten links KachelX 30977 KachelY + 1 19682 -0.17170997 1.01516915 -9.838257 58.164908
    Unten rechts KachelX + 1 30978 KachelY + 1 19682 -0.17161410 1.01516915 -9.832764 58.164908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01521972-1.01516915) × R
    5.0569999999972e-05 × 6371000     		dl = 322.181469999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01521972-1.01516915) × R
    5.0569999999972e-05 × 6371000     		dr = 322.181469999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17170997--0.17161410) × cos(1.01521972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527433270947153 × 6371000     		do = 322.14979138561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17170997--0.17161410) × cos(1.01516915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527476234365703 × 6371000     		du = 322.176032916218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01521972)-sin(1.01516915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527433270947153-0.527476234365703)×R²
    abs(-0.17161410--0.17170997)×4.2963418550368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2963418550368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2963418550368e-05×40589641000000     		ar = 103794.920638641m²