Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30975 / 17186
↖ ↑ ↗
← N 64.694410°
W  9.849243°		 ← 261.08 m → N 64.694410°
W  9.843750°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
N 64.692062°
W  9.849243°		 ← 261.10 m →
68 166 m²		 N 64.692062°
W  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472648620605469 y=0.262245178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472648620605469 × 216)
    floor (0.472648620605469 × 65536)
    floor (30975.5)     		tx = 30975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262245178222656 × 216)
    floor (0.262245178222656 × 65536)
    floor (17186.5)     		ty = 17186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30975 / 17186 ti = "16/30975/17186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30975/17186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30975 ÷ 216
    30975 ÷ 65536     		x = 0.472640991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17186 ÷ 216
    17186 ÷ 65536     		y = 0.262237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472640991210938 × 2 - 1) × π
    -0.054718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17190172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262237548828125 × 2 - 1) × π
    0.47552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49390553975943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17190172} λ = -0.17190172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49390553975943))-π/2
    2×atan(4.45445865611034)-π/2
    2×1.34996339259073-π/2
    2.69992678518147-1.57079632675     		φ = 1.12913046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17190172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.849243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12913046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.694410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30975 KachelY 17186 -0.17190172 1.12913046 -9.849243 64.694410
    Oben rechts KachelX + 1 30976 KachelY 17186 -0.17180585 1.12913046 -9.843750 64.694410
    Unten links KachelX 30975 KachelY + 1 17187 -0.17190172 1.12908948 -9.849243 64.692062
    Unten rechts KachelX + 1 30976 KachelY + 1 17187 -0.17180585 1.12908948 -9.843750 64.692062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12913046-1.12908948) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dl = 261.083580000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12913046-1.12908948) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dr = 261.083580000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17190172--0.17180585) × cos(1.12913046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427446069107517 × 6371000     		do = 261.078831345441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17190172--0.17180585) × cos(1.12908948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427483116342612 × 6371000     		du = 261.101459343549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12913046)-sin(1.12908948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427446069107517-0.427483116342612)×R²
    abs(-0.17180585--0.17190172)×3.70472350941786e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70472350941786e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70472350941786e-05×40589641000000     		ar = 68166.3498589144m²