Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30974 / 6442
↖ ↑ ↗
← N 73.093024°
E160.290527°		 ← 355.28 m → N 73.093024°
E160.301514°		 →
↑
355.31 m
↓
↑
355.31 m
↓
N 73.089829°
E160.290527°		 ← 355.34 m →
126 245 m²		 N 73.089829°
E160.301514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945266723632812 y=0.196609497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945266723632812 × 215)
    floor (0.945266723632812 × 32768)
    floor (30974.5)     		tx = 30974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196609497070312 × 215)
    floor (0.196609497070312 × 32768)
    floor (6442.5)     		ty = 6442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30974 / 6442 ti = "15/30974/6442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30974/6442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30974 ÷ 215
    30974 ÷ 32768     		x = 0.94525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6442 ÷ 215
    6442 ÷ 32768     		y = 0.19659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94525146484375 × 2 - 1) × π
    0.8905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79759746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19659423828125 × 2 - 1) × π
    0.6068115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90635462409039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79759746} λ = 2.79759746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90635462409039))-π/2
    2×atan(6.72851606694333)-π/2
    2×1.42325513003887-π/2
    2.84651026007774-1.57079632675     		φ = 1.27571393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79759746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27571393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.093024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30974 KachelY 6442 2.79759746 1.27571393 160.290527 73.093024
    Oben rechts KachelX + 1 30975 KachelY 6442 2.79778921 1.27571393 160.301514 73.093024
    Unten links KachelX 30974 KachelY + 1 6443 2.79759746 1.27565816 160.290527 73.089829
    Unten rechts KachelX + 1 30975 KachelY + 1 6443 2.79778921 1.27565816 160.301514 73.089829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27571393-1.27565816) × R
    5.57699999998995e-05 × 6371000     		dl = 355.31066999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27571393-1.27565816) × R
    5.57699999998995e-05 × 6371000     		dr = 355.31066999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79759746-2.79778921) × cos(1.27571393) × R
    0.000191749999999935 × 0.290818686566481 × 6371000     		do = 355.27552214294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79759746-2.79778921) × cos(1.27565816) × R
    0.000191749999999935 × 0.290872045633456 × 6371000     		du = 355.3407076735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27571393)-sin(1.27565816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290818686566481-0.290872045633456)×R²
    abs(2.79778921-2.79759746)×5.33590669747896e-05×R²
    0.000191749999999935×5.33590669747896e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.33590669747896e-05×40589641000000     		ar = 126244.764397478m²