Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30974 / 17184
↖ ↑ ↗
← N 64.699105°
W  9.854737°		 ← 261.06 m → N 64.699105°
W  9.849243°		 →
↑
261.02 m
↓
↑
261.02 m
↓
N 64.696758°
W  9.854737°		 ← 261.08 m →
68 145 m²		 N 64.696758°
W  9.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472633361816406 y=0.262214660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472633361816406 × 216)
    floor (0.472633361816406 × 65536)
    floor (30974.5)     		tx = 30974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262214660644531 × 216)
    floor (0.262214660644531 × 65536)
    floor (17184.5)     		ty = 17184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30974 / 17184 ti = "16/30974/17184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30974/17184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30974 ÷ 216
    30974 ÷ 65536     		x = 0.472625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17184 ÷ 216
    17184 ÷ 65536     		y = 0.26220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.05474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17199760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26220703125 × 2 - 1) × π
    0.4755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49409728735791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17199760} λ = -0.17199760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49409728735791))-π/2
    2×atan(4.45531286975427)-π/2
    2×1.35000436991768-π/2
    2.70000873983536-1.57079632675     		φ = 1.12921241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17199760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.854737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12921241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.699105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30974 KachelY 17184 -0.17199760 1.12921241 -9.854737 64.699105
    Oben rechts KachelX + 1 30975 KachelY 17184 -0.17190172 1.12921241 -9.849243 64.699105
    Unten links KachelX 30974 KachelY + 1 17185 -0.17199760 1.12917144 -9.854737 64.696758
    Unten rechts KachelX + 1 30975 KachelY + 1 17185 -0.17190172 1.12917144 -9.849243 64.696758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12921241-1.12917144) × R
    4.09700000001401e-05 × 6371000     		dl = 261.019870000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12921241-1.12917144) × R
    4.09700000001401e-05 × 6371000     		dr = 261.019870000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17199760--0.17190172) × cos(1.12921241) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.427371981524642 × 6371000     		do = 261.06080742484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17199760--0.17190172) × cos(1.12917144) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.427409021154587 × 6371000     		du = 261.083433137611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12921241)-sin(1.12917144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427371981524642-0.427409021154587)×R²
    abs(-0.17190172--0.17199760)×3.70396299452791e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70396299452791e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70396299452791e-05×40589641000000     		ar = 68145.0109063773m²