Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30973 / 19719
↖ ↑ ↗
← N 58.057538°
W  9.860230°		 ← 323.15 m → N 58.057538°
W  9.854737°		 →
↑
323.20 m
↓
↑
323.20 m
↓
N 58.054632°
W  9.860230°		 ← 323.17 m →
104 446 m²		 N 58.054632°
W  9.854737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472618103027344 y=0.300895690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472618103027344 × 216)
    floor (0.472618103027344 × 65536)
    floor (30973.5)     		tx = 30973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300895690917969 × 216)
    floor (0.300895690917969 × 65536)
    floor (19719.5)     		ty = 19719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30973 / 19719 ti = "16/30973/19719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30973/19719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30973 ÷ 216
    30973 ÷ 65536     		x = 0.472610473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19719 ÷ 216
    19719 ÷ 65536     		y = 0.300888061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472610473632812 × 2 - 1) × π
    -0.054779052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17209347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300888061523438 × 2 - 1) × π
    0.398223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25105720628423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17209347} λ = -0.17209347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25105720628423))-π/2
    2×atan(3.49403492121034)-π/2
    2×1.29204576271201-π/2
    2.58409152542402-1.57079632675     		φ = 1.01329520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17209347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.860230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01329520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.057538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30973 KachelY 19719 -0.17209347 1.01329520 -9.860230 58.057538
    Oben rechts KachelX + 1 30974 KachelY 19719 -0.17199760 1.01329520 -9.854737 58.057538
    Unten links KachelX 30973 KachelY + 1 19720 -0.17209347 1.01324447 -9.860230 58.054632
    Unten rechts KachelX + 1 30974 KachelY + 1 19720 -0.17199760 1.01324447 -9.854737 58.054632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01329520-1.01324447) × R
    5.07299999998878e-05 × 6371000     		dl = 323.200829999285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01329520-1.01324447) × R
    5.07299999998878e-05 × 6371000     		dr = 323.200829999285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17209347--0.17199760) × cos(1.01329520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.529067358569498 × 6371000     		do = 323.147872120447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17209347--0.17199760) × cos(1.01324447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.529110406343535 × 6371000     		du = 323.174165174355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01329520)-sin(1.01324447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529067358569498-0.529110406343535)×R²
    abs(-0.17199760--0.17209347)×4.3047774037408e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3047774037408e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3047774037408e-05×40589641000000     		ar = 104445.90947262m²