Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30972 / 14084
↖ ↑ ↗
← N 71.066928°
W  9.865722°		 ← 198.18 m → N 71.066928°
W  9.860230°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
N 71.065146°
W  9.865722°		 ← 198.20 m →
39 281 m²		 N 71.065146°
W  9.860230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472602844238281 y=0.214912414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472602844238281 × 216)
    floor (0.472602844238281 × 65536)
    floor (30972.5)     		tx = 30972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214912414550781 × 216)
    floor (0.214912414550781 × 65536)
    floor (14084.5)     		ty = 14084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30972 / 14084 ti = "16/30972/14084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30972/14084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30972 ÷ 216
    30972 ÷ 65536     		x = 0.47259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14084 ÷ 216
    14084 ÷ 65536     		y = 0.21490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.0548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17218934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21490478515625 × 2 - 1) × π
    0.5701904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79130606500226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17218934} λ = -0.17218934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79130606500226))-π/2
    2×atan(5.9972801912782)-π/2
    2×1.4055741086014-π/2
    2.81114821720281-1.57079632675     		φ = 1.24035189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17218934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.865722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24035189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.066928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30972 KachelY 14084 -0.17218934 1.24035189 -9.865722 71.066928
    Oben rechts KachelX + 1 30973 KachelY 14084 -0.17209347 1.24035189 -9.860230 71.066928
    Unten links KachelX 30972 KachelY + 1 14085 -0.17218934 1.24032078 -9.865722 71.065146
    Unten rechts KachelX + 1 30973 KachelY + 1 14085 -0.17209347 1.24032078 -9.860230 71.065146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24035189-1.24032078) × R
    3.11099999998898e-05 × 6371000     		dl = 198.201809999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24035189-1.24032078) × R
    3.11099999998898e-05 × 6371000     		dr = 198.201809999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17218934--0.17209347) × cos(1.24035189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324463452404873 × 6371000     		do = 198.178308540869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17218934--0.17209347) × cos(1.24032078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324492879141898 × 6371000     		du = 198.196282031955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24035189)-sin(1.24032078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324463452404873-0.324492879141898)×R²
    abs(-0.17209347--0.17218934)×2.94267370248846e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94267370248846e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94267370248846e-05×40589641000000     		ar = 39281.0806477224m²