Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30971 / 17197
↖ ↑ ↗
← N 64.668569°
W  9.871216°		 ← 261.36 m → N 64.668569°
W  9.865722°		 →
↑
261.34 m
↓
↑
261.34 m
↓
N 64.666219°
W  9.871216°		 ← 261.38 m →
68 305 m²		 N 64.666219°
W  9.865722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472587585449219 y=0.262413024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472587585449219 × 216)
    floor (0.472587585449219 × 65536)
    floor (30971.5)     		tx = 30971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262413024902344 × 216)
    floor (0.262413024902344 × 65536)
    floor (17197.5)     		ty = 17197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30971 / 17197 ti = "16/30971/17197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30971/17197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30971 ÷ 216
    30971 ÷ 65536     		x = 0.472579956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17197 ÷ 216
    17197 ÷ 65536     		y = 0.262405395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472579956054688 × 2 - 1) × π
    -0.054840087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17228522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262405395507812 × 2 - 1) × π
    0.475189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49285092796779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17228522} λ = -0.17228522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49285092796779))-π/2
    2×atan(4.44976340775355)-π/2
    2×1.34973789028398-π/2
    2.69947578056796-1.57079632675     		φ = 1.12867945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17228522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.871216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12867945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.668569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30971 KachelY 17197 -0.17228522 1.12867945 -9.871216 64.668569
    Oben rechts KachelX + 1 30972 KachelY 17197 -0.17218934 1.12867945 -9.865722 64.668569
    Unten links KachelX 30971 KachelY + 1 17198 -0.17228522 1.12863843 -9.871216 64.666219
    Unten rechts KachelX + 1 30972 KachelY + 1 17198 -0.17218934 1.12863843 -9.865722 64.666219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12867945-1.12863843) × R
    4.10199999998362e-05 × 6371000     		dl = 261.338419998956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12867945-1.12863843) × R
    4.10199999998362e-05 × 6371000     		dr = 261.338419998956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17228522--0.17218934) × cos(1.12867945) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.427853757083931 × 6371000     		do = 261.35510073826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17228522--0.17218934) × cos(1.12863843) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.427890832567908 × 6371000     		du = 261.377748352519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12867945)-sin(1.12863843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427853757083931-0.427890832567908)×R²
    abs(-0.17218934--0.17228522)×3.7075483976412e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.7075483976412e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.7075483976412e-05×40589641000000     		ar = 68305.0884409894m²