Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3097 / 5025
↖ ↑ ↗
← S 37.753344°
W 43.901367°		 ← 3 863.52 m → S 37.753344°
W 43.857422°		 →
↑
3 862.61 m
↓
↑
3 862.61 m
↓
S 37.788081°
W 43.901367°		 ← 3 861.71 m →
14 919 785 m²		 S 37.788081°
W 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37811279296875 y=0.61346435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37811279296875 × 213)
    floor (0.37811279296875 × 8192)
    floor (3097.5)     		tx = 3097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61346435546875 × 213)
    floor (0.61346435546875 × 8192)
    floor (5025.5)     		ty = 5025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3097 / 5025 ti = "13/3097/5025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3097/5025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3097 ÷ 213
    3097 ÷ 8192     		x = 0.3780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5025 ÷ 213
    5025 ÷ 8192     		y = 0.6134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.712534075952515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76622340} λ = -0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.712534075952515))-π/2
    2×atan(0.490399910947105)-π/2
    2×0.4559380850721-π/2
    0.9118761701442-1.57079632675     		φ = -0.65892016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65892016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.753344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3097 KachelY 5025 -0.76622340 -0.65892016 -43.901367 -37.753344
    Oben rechts KachelX + 1 3098 KachelY 5025 -0.76545641 -0.65892016 -43.857422 -37.753344
    Unten links KachelX 3097 KachelY + 1 5026 -0.76622340 -0.65952644 -43.901367 -37.788081
    Unten rechts KachelX + 1 3098 KachelY + 1 5026 -0.76545641 -0.65952644 -43.857422 -37.788081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65892016--0.65952644) × R
    0.00060628000000007 × 6371000     		dl = 3862.60988000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65892016--0.65952644) × R
    0.00060628000000007 × 6371000     		dr = 3862.60988000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76622340--0.76545641) × cos(-0.65892016) × R
    0.000766990000000023 × 0.790653838883208 × 6371000     		do = 3863.52467841565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76622340--0.76545641) × cos(-0.65952644) × R
    0.000766990000000023 × 0.790282490521472 × 6371000     		du = 3861.71008713778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65892016)-sin(-0.65952644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790653838883208-0.790282490521472)×R²
    abs(-0.76545641--0.76622340)×0.000371348361736024×R²
    0.000766990000000023×0.000371348361736024×6371000²
    0.000766990000000023×0.000371348361736024×40589641000000     		ar = 14919784.5223863m²