Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30969 / 17147
↖ ↑ ↗
← N 64.785828°
W  9.882202°		 ← 260.20 m → N 64.785828°
W  9.876709°		 →
↑
260.19 m
↓
↑
260.19 m
↓
N 64.783488°
W  9.882202°		 ← 260.22 m →
67 704 m²		 N 64.783488°
W  9.876709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472557067871094 y=0.261650085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472557067871094 × 216)
    floor (0.472557067871094 × 65536)
    floor (30969.5)     		tx = 30969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261650085449219 × 216)
    floor (0.261650085449219 × 65536)
    floor (17147.5)     		ty = 17147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30969 / 17147 ti = "16/30969/17147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30969/17147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30969 ÷ 216
    30969 ÷ 65536     		x = 0.472549438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17147 ÷ 216
    17147 ÷ 65536     		y = 0.261642456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472549438476562 × 2 - 1) × π
    -0.054901123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17247696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261642456054688 × 2 - 1) × π
    0.476715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49764461792979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17247696} λ = -0.17247696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49764461792979))-π/2
    2×atan(4.4711454023154)-π/2
    2×1.35076117027174-π/2
    2.70152234054348-1.57079632675     		φ = 1.13072601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17247696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.882202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13072601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.785828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30969 KachelY 17147 -0.17247696 1.13072601 -9.882202 64.785828
    Oben rechts KachelX + 1 30970 KachelY 17147 -0.17238109 1.13072601 -9.876709 64.785828
    Unten links KachelX 30969 KachelY + 1 17148 -0.17247696 1.13068517 -9.882202 64.783488
    Unten rechts KachelX + 1 30970 KachelY + 1 17148 -0.17238109 1.13068517 -9.876709 64.783488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13072601-1.13068517) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dl = 260.191640000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13072601-1.13068517) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dr = 260.191640000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17247696--0.17238109) × cos(1.13072601) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.426003083250064 × 6371000     		do = 260.1974732315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17247696--0.17238109) × cos(1.13068517) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.426040031729435 × 6371000     		du = 260.22004091082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13072601)-sin(1.13068517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426003083250064-0.426040031729435)×R²
    abs(-0.17238109--0.17247696)×3.6948479371357e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.6948479371357e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.6948479371357e-05×40589641000000     		ar = 67704.1432540749m²