Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30967 / 37240
↖ ↑ ↗
← S 23.845650°
W  9.893188°		 ← 558.65 m → S 23.845650°
W  9.887695°		 →
↑
558.67 m
↓
↑
558.67 m
↓
S 23.850674°
W  9.893188°		 ← 558.63 m →
312 096 m²		 S 23.850674°
W  9.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472526550292969 y=0.568244934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472526550292969 × 216)
    floor (0.472526550292969 × 65536)
    floor (30967.5)     		tx = 30967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568244934082031 × 216)
    floor (0.568244934082031 × 65536)
    floor (37240.5)     		ty = 37240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30967 / 37240 ti = "16/30967/37240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30967/37240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30967 ÷ 216
    30967 ÷ 65536     		x = 0.472518920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37240 ÷ 216
    37240 ÷ 65536     		y = 0.5682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472518920898438 × 2 - 1) × π
    -0.054962158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17266871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.428747630201782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17266871} λ = -0.17266871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.428747630201782))-π/2
    2×atan(0.651324283019068)-π/2
    2×0.577305611994317-π/2
    1.15461122398863-1.57079632675     		φ = -0.41618510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17266871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.893188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41618510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.845650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30967 KachelY 37240 -0.17266871 -0.41618510 -9.893188 -23.845650
    Oben rechts KachelX + 1 30968 KachelY 37240 -0.17257284 -0.41618510 -9.887695 -23.845650
    Unten links KachelX 30967 KachelY + 1 37241 -0.17266871 -0.41627279 -9.893188 -23.850674
    Unten rechts KachelX + 1 30968 KachelY + 1 37241 -0.17257284 -0.41627279 -9.887695 -23.850674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41618510--0.41627279) × R
    8.76900000000291e-05 × 6371000     		dl = 558.672990000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41618510--0.41627279) × R
    8.76900000000291e-05 × 6371000     		dr = 558.672990000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17266871--0.17257284) × cos(-0.41618510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.914637857597 × 6371000     		do = 558.649617399237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17266871--0.17257284) × cos(-0.41627279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.914602403280143 × 6371000     		du = 558.627962336107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41618510)-sin(-0.41627279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914637857597-0.914602403280143)×R²
    abs(-0.17257284--0.17266871)×3.54543168569199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54543168569199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54543168569199e-05×40589641000000     		ar = 312096.403265423m²