Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30967 / 17148
↖ ↑ ↗
← N 64.783488°
W  9.893188°		 ← 260.22 m → N 64.783488°
W  9.887695°		 →
↑
260.26 m
↓
↑
260.26 m
↓
N 64.781148°
W  9.893188°		 ← 260.24 m →
67 727 m²		 N 64.781148°
W  9.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472526550292969 y=0.261665344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472526550292969 × 216)
    floor (0.472526550292969 × 65536)
    floor (30967.5)     		tx = 30967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261665344238281 × 216)
    floor (0.261665344238281 × 65536)
    floor (17148.5)     		ty = 17148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30967 / 17148 ti = "16/30967/17148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30967/17148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30967 ÷ 216
    30967 ÷ 65536     		x = 0.472518920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17148 ÷ 216
    17148 ÷ 65536     		y = 0.26165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472518920898438 × 2 - 1) × π
    -0.054962158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17266871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26165771484375 × 2 - 1) × π
    0.4766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49754874413055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17266871} λ = -0.17266871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49754874413055))-π/2
    2×atan(4.47071675716697)-π/2
    2×1.35074074811918-π/2
    2.70148149623837-1.57079632675     		φ = 1.13068517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17266871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.893188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13068517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.783488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30967 KachelY 17148 -0.17266871 1.13068517 -9.893188 64.783488
    Oben rechts KachelX + 1 30968 KachelY 17148 -0.17257284 1.13068517 -9.887695 64.783488
    Unten links KachelX 30967 KachelY + 1 17149 -0.17266871 1.13064432 -9.893188 64.781148
    Unten rechts KachelX + 1 30968 KachelY + 1 17149 -0.17257284 1.13064432 -9.887695 64.781148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13068517-1.13064432) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dl = 260.25534999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13068517-1.13064432) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dr = 260.25534999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17266871--0.17257284) × cos(1.13068517) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426040031729435 × 6371000     		do = 260.220040910745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17266871--0.17257284) × cos(1.13064432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426076988545081 × 6371000     		du = 260.24261368176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13068517)-sin(1.13064432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426040031729435-0.426076988545081)×R²
    abs(-0.17257284--0.17266871)×3.69568156458611e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69568156458611e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69568156458611e-05×40589641000000     		ar = 67726.5951759071m²